Seconde générale et technologique
Notion de fonction et fonctions de référence
La notion de fonction est l'un des langages fondamentaux du lycée. Une fonction permet d'associer à chaque nombre autorisé une unique valeur. On s'en sert pour décrire une situation, calculer une image, chercher un antécédent ou interpréter une courbe.
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Définir une fonction
La notion de fonction est l'un des langages fondamentaux du lycée. Une fonction permet d'associer à chaque nombre autorisé une unique valeur. On s'en sert pour décrire une situation, calculer une image, chercher un antécédent ou interpréter une courbe.
Définition
Une fonction $f$ associe à chaque réel $x$ de son ensemble de définition un seul nombre noté $f(x).$ Ce nombre est l'image de $x.$ Si un même $x$ avait deux images différentes, il ne s'agirait plus d'une fonction.
Les quatre écritures utiles
Une même fonction peut être donnée par une formule, un tableau de valeurs, un graphique ou une situation concrète. Il faut savoir passer de l'une à l'autre. Par exemple, si $f(x)=2x+1,$ alors $f(3)=7,$ et la lecture graphique doit donner la même valeur.
Image et antécédent
L'image est la valeur obtenue quand on remplace $x$ par un nombre. L'antécédent est le nombre de départ. Si $f(4)=9,$ alors 4 est un antécédent de 9, et 9 est l'image de 4. Les deux mots sont proches, mais ils ne désignent pas la même chose.
Sens de variation sur un intervalle
Soit $I$ un intervalle. On dit que $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a
Fonction comme programme de calcul
On peut voir une fonction comme une machine ou un programme de calcul : on choisit un nombre, on lui applique des opérations, puis on lit le résultat. Par exemple, « multiplier par 3 puis enlever 2 » correspond à la fonction $f(x)=3x-2.$ Cette image mentale aide beaucoup quand on passe d'un énoncé à une formule.
Erreur fréquente
Beaucoup d'élèves inversent image et antécédent dans leur rédaction. Il faut donc s'habituer à dire : « 9 est l'image de 4 » ou « 4 est un antécédent de 9 ». La précision du vocabulaire fait partie du cours.
Lire une image ou un antécédent
Savoir lire un graphique est indispensable. Une courbe n'est pas un dessin décoratif : elle résume les valeurs prises par une fonction. À partir d'un graphique, on doit savoir retrouver une image, chercher des antécédents et vérifier une information simple.
Lire une image
Pour lire $f(a),$ on repère $a$ sur l'axe des abscisses, on monte ou on descend jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. Si la courbe est précise, cette lecture est directe ; sinon, on donne une valeur approchée raisonnable.
Chercher des antécédents
Pour chercher les antécédents de $k,$ on imagine la droite horizontale $y=k.$ Les points d'intersection avec la courbe donnent les solutions. Une fonction peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents pour une même image.
Exemple de lecture graphique
Si la courbe passe par le point $A(2;5),$ alors $f(2)=5.$ Si la droite horizontale $y=3$ coupe la courbe en deux points, cela signifie que l'équation $f(x)=3$ admet deux solutions. Il faut toujours traduire la lecture graphique en phrase mathématique complète.
Lire une égalité
Dire que $f(x)=k$ signifie que la courbe de $f$ coupe la droite horizontale $y=k$. Cette idée relie l'algèbre et la géométrie du graphique, et elle permet de résoudre beaucoup d'exercices en Seconde.
Construire un tableau de valeurs
Quand une fonction est donnée par une formule, on peut choisir quelques valeurs de $x$, calculer leurs images et les ranger dans un tableau. Ce tableau aide à tracer une courbe, à vérifier une conjecture et à distinguer plus clairement image et antécédent.
Erreur fréquente
Sur un graphique, l'image se lit sur l'axe vertical, pas sur l'axe horizontal. Beaucoup d'erreurs viennent d'un simple échange entre abscisse et ordonnée. Il faut donc toujours lire les coordonnées dans le bon ordre.
Fonctions de référence
Certaines fonctions servent de modèles. Elles permettent de reconnaître vite une allure de courbe, de prévoir un ensemble de définition ou d'expliquer un résultat. Les connaître évite de « réinventer » le cours à chaque exercice.
Fonction carrée et fonction cube
La fonction carrée $x\mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$, toujours positive et symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction cube $x\mapsto x^3$ est définie sur $\mathbb{R}$, strictement croissante et impaire. Elles servent souvent à comparer des valeurs et à reconnaître une forme de courbe.
Valeur absolue
La fonction valeur absolue $x\mapsto |x|$ mesure une distance à 0. Son graphique a une forme en V. Elle est toujours positive ou nulle, et elle aide à interpréter des écarts, des distances ou des erreurs de mesure.
Inverse et racine carrée
La fonction inverse $x\mapsto\frac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*.$ Sur les intervalles positifs, elle est décroissante. La fonction racine carrée $x\mapsto\sqrt{x}$ est définie sur $[0;+\infty[$ et ne prend que des valeurs positives ou nulles.
Fonctions paires et impaires
Une fonction est paire si $f(-x)=f(x)$ sur son domaine : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si $f(-x)=-f(x)$ : la courbe admet alors une symétrie centrale par rapport à l'origine. La fonction carrée est paire, la fonction cube et la fonction inverse sont impaires.
Lire et dresser un tableau de variations
Un tableau de variations résume le comportement d'une fonction sur son domaine. Pour le dresser, on commence par repérer les bornes de l'intervalle étudié et les éventuels points importants où le comportement change. On place ensuite les valeurs de $x$ sur la première ligne, puis on indique sur la seconde ligne des flèches montantes si la fonction croît et des flèches descendantes si elle décroît. On écrit enfin les valeurs de la fonction aux bornes et aux points remarquables.
Pour le lire, on retient qu'une flèche montante signifie : si $a
Tableau de repères
On peut retenir un petit tableau mental :
- $x^2$ : courbe en U, toujours positive ;
- $x^3$ : courbe en S, croissante sur $\mathbb{R}$ ;
- $|x|$ : forme en V ;
- $\frac1x$ : deux branches séparées par $x=0$ ;
- $\sqrt{x}$ : courbe définie seulement pour $x\ge0$.
Ces repères sont très utiles pour lire rapidement une courbe ou pour vérifier un graphique à l'examen.
Mini justifications utiles
Sur $[0;+\infty[$, si $0\le a
Résoudre avec une fonction
Une fonction permet aussi de résoudre des questions simples : chercher une image, résoudre une équation $f(x)=k$ ou comparer deux valeurs. En Seconde, on apprend surtout à choisir la bonne méthode selon la forme de la fonction.
Résoudre $f(x)=k$
Si l'expression est simple, on isole $x.$ Par exemple, $x^2=9$ donne $x=-3$ ou $x=3.$ Si l'expression est trop compliquée, on lit les solutions graphiquement. Dans les deux cas, il faut donner toutes les solutions, sans en oublier.
Résoudre $f(x)<k$
Graphiquement, on cherche les portions de courbe situées sous la droite $y=k.$ Algébriquement, on peut parfois utiliser une propriété de fonction de référence. Par exemple, sur $\mathbb{R},$ $x^2<4$ équivaut à $-2
Comparer deux fonctions
Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à chercher les points d'intersection de leurs courbes. Résoudre $f(x)
Exemple de comparaison
Si $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x+3,$ les deux courbes se coupent quand $x^2=2x+3.$ On obtient $x^2-2x-3=0,$ donc $x=-1$ ou $x=3.$ Les deux fonctions ont donc les mêmes valeurs en ces deux points. Entre ces abscisses, il faut ensuite comparer les signes pour savoir quelle courbe est au-dessus de l'autre.
Pourquoi cela marche ?
Les propriétés de variation expliquent les méthodes de résolution. Sur un intervalle où une fonction est croissante, l'ordre des nombres est conservé. Sur un intervalle où elle est décroissante, l'ordre est inversé. C'est pour cela qu'on peut comparer des images sans refaire tous les calculs.
QCM du chapitre
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Question 1. Si $f(3)=7$, alors :
- A. 7 est un antécédent de 3
- B. 3 est une image de 7
- C. 3 est un antécédent de 7
- D. f n'est pas une fonction
Réponse. C. 3 est un antécédent de 7
Explication. $f(3)=7$ signifie que 3 est un antécédent de 7.
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Question 2. La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est définie sur :
- A. $\mathbb{R}$
- B. $[0;+\infty[$
- C. $]-\infty;0]$
- D. $\mathbb{R}^*$
Réponse. B. $[0;+\infty[$
Explication. Sous une racine carrée, il faut un nombre positif ou nul.
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Question 3. Sur $[0;+\infty[$, la fonction carrée est :
- A. décroissante
- B. croissante
- C. constante
- D. non définie
Réponse. B. croissante
Explication. Sur les nombres positifs, plus $x$ augmente, plus $x^2$ augmente.
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Question 4. L'équation $x^2=16$ a pour solutions :
- A. $4$ seulement
- B. $-4$ seulement
- C. $-4$ et $4$
- D. $8$
Réponse. C. $-4$ et $4$
Explication. Une équation carrée peut avoir deux solutions opposées.
Exercices guidés
Exercice 1. Étudier une fonction de référence
On considère la fonction $f(x)=\sqrt{10-x}.$ Déterminer son ensemble de définition, calculer $f(1)$ puis résoudre $f(x)=2.$
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Étape 1. Déterminer l'ensemble de définition.
On doit avoir $10-x\ge0,$ donc $x\le10.$ La fonction est définie sur $]-\infty;10].$
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Étape 2. Calculer une image.
$f(1)=\sqrt{10-1}=\sqrt9=3.$
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Étape 3. Résoudre une équation simple.
$f(x)=2$ signifie $\sqrt{10-x}=2.$ En élevant au carré, on obtient $10-x=4,$ donc $x=6.$
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Étape 4. Interpréter le résultat.
Sur son domaine, la fonction ne prend que des valeurs positives ou nulles. L'équation admet une seule solution parce que la racine carrée ne peut pas donner deux valeurs différentes pour le même nombre de départ.
À retenir
- Une fonction associe à chaque nombre de son domaine une unique image.
- L'image de $x$ se note $f(x).$
- Un antécédent de $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y.$
- Le domaine de définition doit toujours être vérifié.
- Une fonction peut être décrite par une formule, un tableau, un graphique ou une situation.
- Sur un intervalle $I,$ $f$ est croissante si $a<b$ entraîne $f(a)\le f(b)$.
- Sur un intervalle $I,$ $f$ est décroissante si $a<b$ entraîne $f(a)\ge f(b)$.
- Un tableau de variations indique les flèches de montée ou de descente et les valeurs utiles.
- La fonction carrée est positive et symétrique.
- La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}.$
- La fonction valeur absolue mesure une distance à 0.
- La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*.$
- Résoudre $f(x)=k$, c'est chercher une image donnée ou les intersections avec une droite horizontale.