Seconde générale et technologique

Probabilités conditionnelles, arbres et algorithmique Python

En Seconde, on apprend d'abord à décrire correctement une expérience aléatoire : nommer l'univers, définir les événements et calculer des probabilités simples. Cette étape est indispensable avant les probabilités conditionnelles, car elle fixe le vocabulaire et le cadre du raisonnement. Dans un...

Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.

Univers, événements et premières probabilités

En Seconde, on apprend d'abord à décrire correctement une expérience aléatoire : nommer l'univers, définir les événements et calculer des probabilités simples. Cette étape est indispensable avant les probabilités conditionnelles, car elle fixe le vocabulaire et le cadre du raisonnement.

Arbre de probabilité en Seconde
Dans un arbre, chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités lues le long de ce chemin.

Univers et événement

On note souvent $\Omega$ l'univers, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les issues possibles. Un événement est une partie de $\Omega$. Si l'issue observée appartient à cet événement, on dit que l'événement est réalisé.

Cas équiprobable

Dans un univers fini équiprobable, toutes les issues ont la même probabilité. On peut alors calculer $P(A)$ par le rapport :

$P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.$

Cette formule n'est valable que dans le cadre équiprobable.

Événement contraire et événements incompatibles

L'événement contraire de $A$ est noté $\overline{A}$. On a $P(\overline{A})=1-P(A).$ Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas, $P(A\cap B)=0,$ donc la formule générale de l'union se simplifie en $P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Formule générale de l'union

Pour deux événements quelconques $A$ et $B,$ on a :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

On soustrait l'intersection pour ne pas compter deux fois les issues communes. Le cas des événements incompatibles n'est qu'un cas particulier où $P(A\cap B)=0.$

Loi de probabilité

Quand une expérience a un nombre fini d'issues, on peut regrouper leurs probabilités dans un tableau appelé loi de probabilité. La somme de toutes les probabilités vaut toujours 1. Ce tableau permet de vérifier qu'un modèle est cohérent avant de lancer des calculs plus complexes.

Fréquence ou probabilité ?

Une fréquence observée dans une expérience n'est pas exactement une probabilité théorique. La fréquence vient d'essais réalisés ; la probabilité dépend du modèle choisi. Les deux notions sont liées, mais elles ne doivent pas être confondues.

Probabilité conditionnelle et arbres pondérés

La probabilité conditionnelle apparaît quand on sait déjà qu'un événement s'est produit. On ne travaille plus dans tout l'univers, mais dans un univers restreint. Les arbres pondérés sont alors l'outil le plus clair pour organiser le raisonnement.

Probabilité conditionnelle

Si $A$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ se note $P(B\mid A).$ Elle mesure la probabilité que $B$ se réalise parmi les cas où $A$ est déjà réalisé. C'est donc un changement de référence.

Formule de multiplication

On a :

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A).$

On peut aussi écrire :

$P(A\cap B)=P(B)\times P(A\mid B).$

Ces formules relient directement une probabilité conjointe et une probabilité conditionnelle.

Arbre pondéré

Dans un arbre de probabilité, chaque branche porte une probabilité. La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités de ses branches. Si plusieurs chemins réalisent l'événement demandé, on additionne ensuite les résultats obtenus.

Lire un arbre sans se tromper

On commence par nommer le chemin correspondant à l'événement demandé. Ensuite, on multiplie les probabilités sur ce chemin. Enfin, si l'événement peut être obtenu de plusieurs façons, on additionne les probabilités des chemins correspondants. Cette méthode évite les additions trop tôt faites ou les mauvais conditionnements.

Attention au sens du conditionnement

Les notations $P(B\mid A)$ et $P(A\mid B)$ ne sont pas interchangeables. Elles décrivent deux univers restreints différents. Lire l'arbre dans le mauvais sens est l'une des erreurs les plus fréquentes du chapitre.

Fréquences observées et simulation

Les statistiques et les probabilités se répondent : une fréquence observée peut être vue comme une approximation d'une probabilité théorique. C'est pour cela que la simulation a sa place dans le programme. Elle permet de répéter une expérience aléatoire un grand nombre de fois et d'observer les fréquences obtenues.

Fréquence observée

Si un événement se réalise $k$ fois sur $n$ essais, sa fréquence observée est $\frac{k}{n}$. Quand $n$ devient grand, cette fréquence a tendance à se stabiliser autour de la probabilité théorique, même si elle ne lui est pas forcément égale à chaque expérience.

Échantillonnage et stabilisation

Sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée d'un événement se rapproche en général de sa probabilité. Pour un échantillon de taille $n,$ l'écart typique entre fréquence et probabilité est de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{n}}.$ Plus $n$ est grand, plus l'estimation devient stable.

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Si la proportion théorique dans la population vaut $p$ et si l'on prélève un échantillon de taille $n,$ l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est, au programme de Seconde,

$\left[p-\frac{1}{\sqrt n}\ ;\ p+\frac{1}{\sqrt n}\right].$

Si la fréquence observée dans l'échantillon reste dans cet intervalle, elle est compatible avec le modèle choisi. Si elle en sort nettement, on peut soupçonner que le modèle n'est pas adapté ou qu'un phénomène rare s'est produit.

Lien avec les tableaux croisés

Quand on croise deux variables dans une population, une fréquence conditionnelle devient naturellement une probabilité conditionnelle. On passe ainsi d'un tableau de données à un raisonnement sur une expérience aléatoire. Cette continuité est très importante dans le programme.

Écrire un programme simple

Un algorithme de simulation commence souvent par un compteur, puis une boucle qui répète l'expérience, puis un test pour savoir si le succès est réalisé. On termine en calculant la fréquence. En Python, trois outils suffisent souvent : les variables, la boucle for et la condition if.

Simulation et théorie

La simulation ne démontre pas la probabilité théorique : elle l'approche. Deux exécutions du même programme peuvent donner des résultats légèrement différents. Il faut donc lire l'affichage de l'ordinateur comme une estimation, pas comme une valeur exacte.

Premiers scripts Python

L'algorithmique ne sert pas seulement à « faire de l'informatique ». En Seconde, elle permet surtout de traduire une procédure mathématique en étapes claires. Un script bien écrit aide à répéter des essais, compter, comparer et vérifier un résultat.

Structure d'un script de simulation

On choisit d'abord le nombre d'essais, puis on initialise un compteur. Ensuite, on répète l'expérience dans une boucle. À chaque succès, on augmente le compteur. Enfin, on calcule la fréquence du succès en divisant par le nombre total d'essais.

Exemple Python

Exemple de programme simple pour estimer une fréquence :

from random import random
n = 1000
succes = 0
for _ in range(n):
    if random() < 0.37:
        succes += 1
frequence = succes / n
print(frequence)

Comment lire le résultat

Dans ce programme, on simule 1000 essais indépendants. Le nombre 0,37 représente la probabilité théorique de succès dans le modèle choisi. La valeur affichée n'est qu'une fréquence observée, qui doit normalement se rapprocher de 0,37 quand on augmente le nombre d'essais.

Variante avec un dé équilibré

Pour simuler un dé, on génère un entier aléatoire entre 1 et 6, puis on teste par exemple l'événement « obtenir un nombre pair ». La structure du script reste la même : initialisation, boucle, test, compteur et fréquence finale. Seule l'expérience simulée change.

Erreurs fréquentes en Python

Il faut bien distinguer l'initialisation du compteur et son incrémentation. Il ne faut pas oublier l'import de la fonction aléatoire, ni confondre une condition logique avec un affichage à l'écran. En algorithmique, la rigueur de l'écriture compte autant que l'idée mathématique.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Dans un arbre de probabilité, la probabilité d'un chemin se calcule en :

    • A. additionnant les branches
    • B. multipliant les branches
    • C. soustrayant les branches
    • D. lisant seulement la dernière branche

    Réponse. B. multipliant les branches

    Explication. On multiplie les probabilités lues le long du chemin.

  2. Question 2. $P(B\mid A)$ signifie :

    • A. la probabilité de $A$ sachant $B$
    • B. la probabilité de $B$ quand $A$ est réalisé
    • C. la probabilité de $A\cup B$
    • D. la fréquence marginale de $B$

    Réponse. B. la probabilité de $B$ quand $A$ est réalisé

    Explication. On change l'univers de référence : on sait déjà que $A$ est réalisé.

  3. Question 3. Deux événements incompatibles vérifient :

    • A. $P(A\cup B)=P(A)P(B)$
    • B. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
    • C. $P(A)=P(B)$
    • D. $P(A\cap B)=1$

    Réponse. B. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

    Explication. Ils ne peuvent pas se réaliser ensemble, donc leurs probabilités s'additionnent pour l'union.

  4. Question 4. En Python, une boucle utile pour répéter un grand nombre d'essais est :

    • A. <code>if</code>
    • B. <code>for</code>
    • C. <code>return</code>
    • D. <code>print</code>

    Réponse. B. <code>for</code>

    Explication. La boucle <code>for</code> sert justement à répéter une instruction.

Exercices guidés

Exercice 1. Lire un arbre de probabilité

On considère un test de dépistage. 4 % des élèves sont concernés par un trouble noté $T$. Si un élève est concerné, le test est positif dans 90 % des cas. Si un élève n'est pas concerné, le test est positif dans 8 % des cas.
Calculer la probabilité qu'un élève soit concerné et testé positif.

  1. Étape 1. Lire les probabilités utiles.

    On a $P(T)=0{,}04$ et $P(+\mid T)=0{,}90.$

  2. Étape 2. Calculer la probabilité du chemin.

    La probabilité de « être concerné et tester positif » vaut $P(T\cap +)=P(T)\times P(+\mid T)=0{,}04\times0{,}90=0{,}036.$

  3. Étape 3. Passer au pourcentage.

    On obtient $0{,}036=3{,}6\%.$

  4. Étape 4. Conclure dans le contexte.

    La probabilité recherchée est donc 3,6 %. Le résultat correspond à une probabilité conjointe : on demande à la fois la présence du trouble et un test positif.

  5. Étape 5. Expliquer pourquoi l'arbre aide vraiment.

    L'arbre oblige à distinguer le premier tri, puis les cas conditionnels qui en dépendent. Il rend donc visibles les probabilités conditionnelles et évite de multiplier de mauvais nombres.

Exercice 2. Simuler une expérience en Python

On simule 500 lancers d'une pièce équilibrée et on veut estimer la fréquence du côté pile.

  1. Étape 1. Choisir les variables.

    On crée une variable $n$ pour le nombre total d'essais et un compteur pour le nombre de piles obtenus.

  2. Étape 2. Écrire la boucle.

    On répète l'expérience 500 fois avec une boucle for. À chaque succès, on augmente le compteur de 1.

  3. Étape 3. Calculer la fréquence.

    La fréquence estimée vaut $\frac{\text{nombre de piles}}{500}$. Elle fournit une approximation de la probabilité théorique 0,5.

  4. Étape 4. Interpréter le résultat.

    Si l'expérience est répétée sur un très grand nombre de lancers, la fréquence observée devrait se rapprocher de 0,5. La simulation ne remplace pas la théorie, mais elle permet de la visualiser.

À retenir