Seconde générale et technologique

Proportions, pourcentages et évolutions

Une proportion compare une partie à un tout. C'est une idée très simple, mais elle sert partout : répartition d'élèves dans un lycée, part d'un budget, pourcentage de réussite, composition d'un échantillon. En Seconde, il faut surtout apprendre à choisir la bonne référence avant de calculer.

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Comprendre une proportion

Une proportion compare une partie à un tout. C'est une idée très simple, mais elle sert partout : répartition d'élèves dans un lycée, part d'un budget, pourcentage de réussite, composition d'un échantillon. En Seconde, il faut surtout apprendre à choisir la bonne référence avant de calculer.

Définition

Si une partie contient $a$ éléments dans un ensemble de $b$ éléments, la proportion est $\frac{a}{b}.$ On peut l'écrire sous forme décimale ou sous forme de pourcentage. Dire que 18 élèves sur 30 sont demi-pensionnaires revient à écrire $\frac{18}{30}=0{,}6,$ soit 60 %.

Trois écritures d'une même proportion

Une même proportion peut s'écrire sous forme de fraction, de décimal ou de pourcentage. Ainsi :

$\frac{18}{30}=0{,}6=60\%.$

La fraction est utile pour les calculs exacts, le décimal pour comparer rapidement et le pourcentage pour interpréter une répartition.

Méthode de calcul

On commence par identifier clairement l'ensemble de départ. Ensuite, on divise l'effectif de la partie par l'effectif total. Si l'on veut un pourcentage, on multiplie la fréquence décimale par 100. Cette méthode paraît mécanique, mais elle évite la plupart des erreurs de lecture.

Rôle de la référence

Un même nombre peut représenter des choses différentes selon la référence choisie. Dire 40 % des élèves n'a pas le même sens que 40 % des internes. La proportion n'est donc jamais un nombre isolé : elle s'accompagne toujours d'un groupe de référence.

Pourcentage d'une sous-population

On peut comparer une partie à un sous-groupe et non au total. Par exemple, si 12 élèves sur 30 sont internes et si 9 de ces internes sont sportifs, alors la proportion de sportifs parmi les internes vaut $\frac{9}{12}=75\%,$ alors que la proportion dans toute la classe vaut $\frac{9}{30}=30\%.$ Le pourcentage dépend donc toujours de la population choisie.

Exemple de lecture

Si une enquête indique que 45 % des élèves viennent au lycée en bus, cela signifie qu'environ 45 élèves sur 100 prennent le bus. Si le lycée compte 280 élèves, on peut estimer l'effectif correspondant par $0{,}45\times280=126.$

Erreur fréquente

On confond souvent le résultat de calcul avec son interprétation. Écrire $\frac{12}{30}=0{,}4$ ne suffit pas : il faut aussi dire que 12 élèves sur 30 représentent 40 % de la classe. En rédaction, la phrase complète compte autant que le calcul.

Pourcentages et coefficient multiplicateur

Un pourcentage de hausse ou de baisse ne compare plus une partie à un tout, mais une valeur initiale à une valeur finale. Le coefficient multiplicateur permet de traduire cette évolution dans une écriture très efficace, surtout quand plusieurs évolutions se suivent.

Hausse et baisse

Une hausse de $t\%$ correspond au coefficient multiplicateur $1+\frac{t}{100}.$ Une baisse de $t\%$ correspond au coefficient $1-\frac{t}{100}.$ Par exemple, une hausse de 15 % revient à multiplier par 1,15 ; une baisse de 20 % revient à multiplier par 0,80.

Pourquoi ce coefficient ?

Si une valeur initiale vaut $V,$ alors 100 % de cette valeur, c'est $V$ lui-même. Ajouter $t\%$, c'est ajouter $\frac{t}{100}V,$ donc obtenir $V+\frac{t}{100}V = V\left(1+\frac{t}{100}\right).$ Le coefficient multiplicateur n'est rien d'autre qu'une écriture compacte de ce calcul.

Taux d'évolution

Le taux d'évolution entre une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$ vaut :

$\frac{V_f-V_i}{V_i}.$

Si ce quotient est positif, on parle de hausse ; s'il est négatif, on parle de baisse. Par exemple, passer de 80 à 92 correspond à un taux de $\frac{92-80}{80}=0{,}15,$ donc à une hausse de 15 %.

Exemple concret

Un article coûte 250 €. Il subit d'abord une remise de 20 %, puis une hausse de 5 %. On calcule $250\times0{,}80\times1{,}05=210.$ Le prix final est donc 210 €. On ne peut pas écrire $250-20+5$ car les pourcentages ne se manipulent pas comme des euros.

Revenir à la valeur initiale

Si on connaît la valeur finale et le coefficient multiplicateur, on remonte à la valeur initiale en divisant. Par exemple, si un prix final de 144 € correspond à une hausse de 20 %, alors la valeur initiale vaut $144\div1{,}2=120.$ Cette idée est très utile dans les problèmes inverses.

Bien distinguer taux et écart

Une augmentation de 12 € et une augmentation de 12 % sont deux informations différentes. Le premier résultat est un écart absolu, le second est un taux. En exercice, il faut toujours lire précisément ce qui est demandé.

Évolutions successives et réciproques

Les évolutions successives apparaissent dès qu'une valeur change plusieurs fois : remise puis TVA, augmentation puis diminution, croissance puis correction. Dans ce cas, les pourcentages ne s'additionnent pas directement. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs.

Composer des évolutions

Si une valeur subit une hausse de 8 % puis une baisse de 5 %, on multiplie les coefficients 1,08 et 0,95. Le coefficient global vaut $1{,}08\times0{,}95=1{,}026,$ soit une hausse finale de 2,6 %.

Pourcentage de pourcentage

Prendre $30\%$ de $20\%$ revient à calculer $0,30\times0,20=0,06,$ soit $6\%$ du total initial. Quand on empile des pourcentages, le bon réflexe n'est donc pas d'additionner, mais de multiplier les proportions décimales.

Évolution réciproque

Pour revenir à la valeur initiale après une évolution, on cherche l'évolution réciproque. Si une quantité a été multipliée par $c,$ il faut la multiplier par $\frac1c$ pour revenir en arrière. Une hausse de 25 % correspond à 1,25 ; l'évolution réciproque n'est donc pas une baisse de 25 %, mais une multiplication par 0,8.

Deux hausses successives

Si un prix de 50 € augmente d'abord de 10 %, puis encore de 10 %, on obtient $50\times1{,}1\times1{,}1=60{,}5.$ La hausse globale est donc de 21 %, et non de 20 %. Cet exemple montre qu'il faut traiter les évolutions une à une.

Lecture d'un résultat

Quand deux évolutions se succèdent, il faut toujours lire le résultat final par rapport à la valeur de départ. Une hausse de 10 % suivie d'une baisse de 10 % ne s'annule pas : $1{,}10\times0{,}90=0{,}99.$ La valeur finale est donc inférieure de 1 % à la valeur initiale.

Piège classique

Dire que « +10 % puis -10 % font 0 % » est faux. L'erreur vient du fait qu'on additionne des pourcentages sans tenir compte des bases de calcul. C'est précisément ce qu'il faut éviter dans ce chapitre.

Rédiger proprement un calcul de pourcentage

Une bonne rédaction ne se contente pas de donner un résultat numérique. Elle précise la valeur de départ, le coefficient utilisé, le calcul et la conclusion dans le contexte. En Seconde, cette habitude vaut déjà beaucoup de points.

Structure attendue

1. On précise la valeur de départ. 2. On transforme le pourcentage en coefficient multiplicateur. 3. On effectue le calcul. 4. On interprète le résultat dans la situation donnée. Cette structure évite les réponses incomplètes ou ambiguës.

Exemple rédigé

Un abonnement passe de 180 € à 216 €. L'augmentation est de $216-180=36$ €. Le taux d'évolution vaut $\frac{36}{180}=0{,}2,$ soit 20 %. On peut donc écrire : « le prix a augmenté de 20 % ». Les trois écritures sont liées, mais elles ne signifient pas la même chose.

Comparer deux valeurs

Passer de 80 à 68 correspond à une baisse de $\frac{68-80}{80}=-0{,}15,$ soit -15 %. Ici, l'écart est de 12 unités, mais le taux est de 15 %. Cette distinction devient importante dès qu'on compare des situations de tailles différentes.

Passer d'une phrase au calcul

Si l'énoncé dit « le prix augmente de 12 % », on écrit un coefficient multiplicateur de 1,12. Si l'énoncé dit « le prix baisse de 12 % », on écrit 0,88. La lecture de la phrase doit donc précéder le calcul.

Sur-représentation et sous-représentation

Une catégorie est sur-représentée dans un sous-groupe si sa proportion y est plus grande que dans la population totale. Elle est sous-représentée dans le cas inverse. Pour le montrer, on compare donc deux proportions construites avec deux références différentes.

Formulation à éviter

On évite les réponses du type « ça fait environ 20 % ». Il vaut mieux écrire clairement : « le taux d'évolution est de 20 % » ou « la quantité a augmenté de 20 % ». Une rédaction propre montre que l'on sait ce que l'on calcule.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Une hausse de 15 % correspond au coefficient multiplicateur :

    • A. 1,15
    • B. 0,85
    • C. 15
    • D. 1,05

    Réponse. A. 1,15

    Explication. Une hausse de 15 % signifie $1+0{,}15=1{,}15.$

  2. Question 2. 40 élèves sur 160 représentent :

    • A. 20 %
    • B. 25 %
    • C. 40 %
    • D. 60 %

    Réponse. B. 25 %

    Explication. $\frac{40}{160}=\frac14=0{,}25,$ soit 25 %.

  3. Question 3. Deux évolutions successives se composent en :

    • A. additionnant les pourcentages
    • B. multipliant les coefficients
    • C. soustrayant les valeurs
    • D. divisant les pourcentages

    Réponse. B. multipliant les coefficients

    Explication. On multiplie les coefficients multiplicateurs.

  4. Question 4. Après une hausse de 20 %, pour revenir à la valeur initiale, il faut multiplier par :

    • A. 0,2
    • B. 1,2
    • C. 5
    • D. 1/1,2

    Réponse. D. 1/1,2

    Explication. Le coefficient réciproque est $\frac{1}{1{,}2}.$

Exercices guidés

Exercice 1. Étudier une évolution en plusieurs étapes

Une console de jeux coûte initialement 300 €. Elle subit une remise de 10 % puis une hausse de 5 %. Déterminer le prix final et le taux d'évolution global par rapport au prix initial.

  1. Étape 1. Traduire les pourcentages en coefficients.

    La remise de 10 % correspond à multiplier par 0,9. La hausse de 5 % correspond à multiplier par 1,05.

  2. Étape 2. Calculer le prix final.

    On obtient $300\times0{,}9\times1{,}05=283{,}5.$ Le prix final est donc 283,50 €.

  3. Étape 3. Calculer le taux global.

    Le coefficient global vaut 0,945. Cela signifie une baisse globale de 5,5 % par rapport au prix initial.

  4. Étape 4. Rédiger la conclusion.

    On peut conclure : « après la remise puis la hausse, le produit coûte 283,50 € ; au final, son prix a baissé de 5,5 % ». La réponse est plus lisible si elle est reliée au contexte.

À retenir