Seconde générale et technologique

Repérage, distance, milieu et vecteurs

La géométrie analytique commence avec un repère. C'est lui qui permet de transformer une figure en calcul, puis un calcul en conclusion géométrique. En Seconde, il faut savoir lire un point, le placer correctement et interpréter ses coordonnées sans confondre l'abscisse et l'ordonnée.

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Repère orthonormé et lecture des coordonnées

La géométrie analytique commence avec un repère. C'est lui qui permet de transformer une figure en calcul, puis un calcul en conclusion géométrique. En Seconde, il faut savoir lire un point, le placer correctement et interpréter ses coordonnées sans confondre l'abscisse et l'ordonnée.

Point du plan

Dans un repère, un point s'écrit $A(x_A;y_A).$ La première coordonnée est l'abscisse, la seconde est l'ordonnée. L'abscisse indique le déplacement horizontal, l'ordonnée le déplacement vertical. Ce langage est indispensable pour décrire précisément une figure.

Repère orthonormé

Un repère est orthonormé lorsque les axes sont perpendiculaires et que la même unité est utilisée sur les deux axes. Cette condition est importante, car les formules de distance, de milieu et de vecteurs s'écrivent alors simplement et sans ambiguïté.

Lire ou placer un point

Pour lire un point, on commence par l'abscisse, puis on remonte ou on descend jusqu'à l'ordonnée. Pour placer un point, on procède dans l'ordre inverse : on se déplace d'abord horizontalement, puis verticalement. Une erreur classique consiste à échanger les deux coordonnées ou à oublier un signe négatif.

Exemples de lecture

Le point $A(-2;3)$ se situe deux unités à gauche de l'origine et trois unités au-dessus. Le point $B(4;-1)$ se situe quatre unités à droite et une unité en dessous. Lire correctement ces déplacements aide à visualiser toute la figure avant de calculer.

Point important

On ne confond pas une abscisse positive avec une ordonnée positive. Un point peut avoir une abscisse négative et une ordonnée positive, ou l'inverse. Le signe de chaque coordonnée doit toujours être lu séparément.

Distance et milieu

Calculer une distance ou un milieu est un réflexe de base en géométrie repérée. Ces deux outils servent ensuite à prouver un alignement, à reconnaître un parallélogramme ou à vérifier une symétrie. Le plus important est de comprendre d'où viennent les formules, pas seulement de les appliquer.

Distance entre deux points

Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B),$ alors :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$

La formule vient directement du théorème de Pythagore : on forme un triangle rectangle dont les côtés mesurent les écarts horizontal et vertical entre les deux points.

Justifier la formule

On trace mentalement le triangle rectangle formé par le déplacement horizontal $|x_B-x_A|$ et le déplacement vertical $|y_B-y_A|.$ L'hypoténuse est précisément la distance $AB.$ En appliquant Pythagore, on obtient la formule annoncée. Cette justification courte suffit au niveau Seconde.

Coordonnées du milieu

Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).$

On fait simplement la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Le milieu est donc le point qui partage le segment en deux parties de même longueur.

Exemple complet

Pour $A(2;-1)$ et $B(8;5),$ on obtient :

$M\left(\frac{2+8}{2};\frac{-1+5}{2}\right)=(5;2).$

La distance vaut :

$AB=\sqrt{(8-2)^2+(5-(-1))^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2.$

Réflexe utile

Quand les deux écarts horizontal et vertical sont égaux, la distance se simplifie souvent bien. Il faut alors bien écrire chaque différence avec les bons signes avant de passer au carré.

Vecteurs et coordonnées

Un vecteur décrit un déplacement. Il possède une direction, un sens et une longueur. En coordonnées, on passe d'un dessin à un calcul. C'est très pratique pour additionner des déplacements, reconnaître une translation ou vérifier une relation de Chasles.

Vecteur et représentation

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente le déplacement qui fait aller de $A$ vers $B.$ Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même longueur. On peut les déplacer sans les modifier.

Repère et vecteurs dans le plan
Dans un repère orthonormé, chaque point est repéré par deux coordonnées et chaque déplacement peut être décrit par un vecteur.

Coordonnées d'un vecteur

Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B),$ alors :

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).$

La règle est toujours la même : on fait « arrivée moins départ ». Elle doit devenir automatique.

Norme d'un vecteur

Si $\vec u=(x;y),$ alors sa norme vaut :

$\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.$

La norme mesure la longueur du vecteur. C'est exactement la même idée que pour une distance : si $\vec u=\overrightarrow{AB},$ alors $\|\vec u\|=AB.$ Cette formule sert à comparer des vecteurs, à calculer une longueur et à reconnaître une direction unitaire.

Addition et multiplication

Si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y'),$ alors :

$\vec u+\vec v=(x+x'\,;\,y+y').$

Et pour un réel $k,$ on a :

$k\vec u=(kx\,;\,ky).$

On additionne et on multiplie coordonnée par coordonnée.

Vecteur nul et vecteur opposé

Le vecteur nul $\vec0$ ne traduit aucun déplacement. Le vecteur opposé de $\overrightarrow{AB}$ est $\overrightarrow{BA}.$ En coordonnées, si $\vec u=(x;y),$ alors $-\vec u=(-x;-y).$ Ces écritures permettent de simplifier beaucoup d'égalités vectorielles.

Utiliser la relation de Chasles

La relation de Chasles dit :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$

Elle permet de découper un déplacement en étapes successives. C'est très utile pour simplifier un calcul vectoriel ou démontrer une propriété de figure.

Relation de Chasles avec les vecteurs AB, BC et AC
Le déplacement de A vers C peut se lire comme la somme des déplacements de A vers B puis de B vers C.

Exemple de calcul vectoriel

Si $A(1;2),$ $B(4;6)$ et $C(7;3),$ alors :

$\overrightarrow{AB}=(3;4)$ et $\overrightarrow{BC}=(3;-3).$

Donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(6;1)$, ce qui coïncide avec $\overrightarrow{AC}=(6;1).$

Parallélogramme et milieu en langage vectoriel

Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ou si $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$ De même, un point $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0.$ Le langage vectoriel traduit donc des propriétés géométriques en égalités simples.

Colinéarité, alignement et parallélisme

La colinéarité est l'idée centrale qui relie les vecteurs aux droites. Elle permet de reconnaître un alignement, un parallélisme ou une direction commune. En copie, on attend un calcul clair suivi d'une conclusion rédigée proprement.

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Ils ont alors la même direction. En coordonnées, cela signifie que les composantes sont proportionnelles.

Critère d'alignement

Les points $A,$ $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. C'est le critère de base à utiliser dans les exercices du programme.

Critère de colinéarité en coordonnées

Si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y'),$ alors ils sont colinéaires si et seulement si $xy'-yx'=0.$ Ce critère évite parfois de chercher un coefficient de proportionnalité à la main. Il est particulièrement utile quand les coordonnées sont entières ou fractionnaires.

Parallélisme de droites

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Cette idée est la version géométrique du même critère : même direction, donc pas d'intersection.

Rédaction attendue

Il ne suffit pas d'écrire « on voit que c'est aligné ». On calcule les vecteurs, on vérifie la proportionnalité des coordonnées, puis on conclut. Cette progression est exactement celle attendue dans une rédaction de niveau Seconde.

Exemple de démonstration

Soient $A(1;1),$ $B(3;5)$ et $C(5;9).$ On calcule :

$\overrightarrow{AB}=(2;4)$ et $\overrightarrow{AC}=(4;8).$

Comme $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB},$ les vecteurs sont colinéaires. Les points $A,$ $B$ et $C$ sont donc alignés.

Méthodes à retenir

Cette dernière partie rassemble les réflexes à stabiliser. En géométrie analytique, la difficulté ne vient pas seulement des formules, mais surtout du choix du bon outil au bon moment : distance, milieu, vecteur, alignement ou parallélisme.

Choisir la bonne formule

Si on cherche une longueur, on pense à la distance. Si on cherche le point qui partage un segment, on pense au milieu. Si on cherche un déplacement, on pense au vecteur. Si on veut prouver un alignement ou un parallélisme, on pense à la colinéarité.

Ne pas confondre vecteur et segment

Un segment a deux extrémités. Un vecteur décrit un déplacement et peut être translaté. Cette distinction est importante : le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ne dépend pas de la position du dessin, seulement du départ et de l'arrivée.

Mini bilan

Avec les coordonnées, on peut lire une figure, calculer une longueur, déterminer un milieu, comparer des directions et prouver des propriétés. C'est pour cela que cette partie sert de base à toute la géométrie analytique du lycée.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $A(1;2)$ et $B(5;-1),$ alors $\overrightarrow{AB}$ vaut :

    • A. $(4;-3)$
    • B. $(6;1)$
    • C. $(-4;3)$
    • D. $(4;1)$

    Réponse. A. $(4;-3)$

    Explication. On calcule $5-1=4$ et $-1-2=-3.$

  2. Question 2. Le milieu de $A(0;4)$ et $B(6;2)$ est :

    • A. $(3;3)$
    • B. $(6;6)$
    • C. $(3;1)$
    • D. $(2;3)$

    Réponse. A. $(3;3)$

    Explication. On moyenne les coordonnées : $\left(\frac{0+6}{2};\frac{4+2}{2}\right).$

  3. Question 3. Deux vecteurs colinéaires sont :

    • A. forcément égaux
    • B. de même direction
    • C. toujours perpendiculaires
    • D. forcément de norme 1

    Réponse. B. de même direction

    Explication. La colinéarité signifie la même direction.

  4. Question 4. Si $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ et $\overrightarrow{AC}=(1;2),$ alors :

    • A. les points ne sont pas alignés
    • B. les points sont alignés
    • C. A est le milieu de [BC]
    • D. les droites sont sécantes

    Réponse. B. les points sont alignés

    Explication. Les coordonnées sont proportionnelles : les vecteurs sont colinéaires.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une distance puis un milieu

On considère $A(-1;2)$ et $B(5;8).$
1. Calculer la distance $AB.$
2. Déterminer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB].$

  1. Étape 1. Calculer les écarts horizontal et vertical.

    On a $x_B-x_A=5-(-1)=6$ et $y_B-y_A=8-2=6.$ Les deux écarts sont donc égaux.

  2. Étape 2. Appliquer la formule de distance.

    La distance vaut $AB=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2.$

  3. Étape 3. Calculer le milieu.

    Le milieu est $M\left(\frac{-1+5}{2};\frac{2+8}{2}\right)=(2;5).$

  4. Étape 4. Conclure.

    On a donc une longueur exacte et un point central parfaitement déterminé. La distance et le milieu sont deux outils différents, mais ils utilisent tous les deux les coordonnées des extrémités du segment.

Exercice 2. Prouver un alignement

On considère $A(1;1),$ $B(3;5)$ et $C(5;9).$ Montrer que ces trois points sont alignés.

  1. Étape 1. Calculer deux vecteurs issus du même point.

    On calcule $\overrightarrow{AB}=(3-1;5-1)=(2;4)$ et $\overrightarrow{AC}=(5-1;9-1)=(4;8).$

  2. Étape 2. Vérifier la colinéarité.

    On remarque que $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.$ Les vecteurs sont donc colinéaires.

  3. Étape 3. Conclure.

    Comme les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, les points $A,$ $B$ et $C$ sont alignés.

À retenir