Terminale specialite

Compléments de dérivation et convexité

Nous commençons par rappeler les concepts fondamentaux de la dérivation vus en Première. La dérivée est un outil central pour étudier les variations des fonctions. Si cela vous semble lointain, relisez attentivement cette section !

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Rappels de Première : dérivation

Nous commençons par rappeler les concepts fondamentaux de la dérivation vus en Première. La dérivée est un outil central pour étudier les variations des fonctions. Si cela vous semble lointain, relisez attentivement cette section !

Nombre dérivé et tangente

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est défini par :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. L'équation de cette tangente est :
$$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Tableau des dérivées usuelles

Voici les dérivées des fonctions élémentaires les plus courantes :

Fonction $f(x)$Dérivée $f'(x)$Domaine de définition
$c$ (constante)$0$$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{N}$)$nx^{n-1}$$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x}$$-\frac{1}{x^2}$$\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$]0, +\infty[$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$

Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, alors :

  • Somme : $(u + v)' = u' + v'$
  • Produit par un scalaire : $(ku)' = k u'$ (où $k$ est une constante)
  • Produit : $(uv)' = u'v + uv'$
  • Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (où $v \neq 0$)

Exemple : Soit $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. On a $f'(x) = 6x + 2$.

Exemple : Soit $g(x) = x^2 e^x$. Par la règle du produit : $g'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2)e^x$.

(uv)' = u'v + uv'

Étudier les variations à l'aide de la dérivée

Le signe de la dérivée $f'(x)$ nous permet de déterminer les variations de $f$ :

  • Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle
  • Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle
  • Si $f'(x) = 0$ en un point et change de signe, ce point est un extremum (maximum ou minimum)

Méthode : Pour étudier les variations, on dresse le tableau de signes de $f'(x)$, puis on en déduit le tableau de variations de $f$.

Exemple : Soit $f(x) = x^3 - 3x$. On a $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. Sur $]-\infty, -1[$, $f'(x) > 0$, sur $]-1, 1[$, $f'(x) < 0$, et sur $]1, +\infty[$, $f'(x) > 0$. Donc $f$ croît sur $]-\infty, -1]$, décroît sur $[-1, 1]$ et croît sur $[1, +\infty[$.

Dérivée d'une fonction composée

Nous abordons maintenant un concept clé : la dérivation des fonctions composées. Cela permettra de dériver des expressions bien plus complexes que celles de Première.

Composition de fonctions

Soient $u$ et $v$ deux fonctions. La composée $v \circ u$ est la fonction définie par :
$$(v \circ u)(x) = v(u(x))$$
On dit que $u$ est la fonction intérieure et $v$ est la fonction extérieure.

Exemple : Soit $u(x) = 3x + 1$ et $v(x) = x^2$. Alors $(v \circ u)(x) = v(u(x)) = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$.

Exemple : Soit $u(x) = x^2$ et $v(x) = e^x$. Alors $(v \circ u)(x) = e^{x^2}$.

(v \circ u)(x) = v(u(x))

Dérivée de la composée (chaîne de dérivation)

Si $u$ est dérivable en $x$ et $v$ est dérivable en $u(x)$, alors $v \circ u$ est dérivable en $x$ et :
$$(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$$
En notation de Leibniz, si on pose $y = u(x)$ et $z = v(y)$, on a :
$$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$$

Cette formule est fondamentale et doit être bien maîtrisée. On la retient souvent sous la forme : « dérivée de l'extérieur times dérivée de l'intérieur ».

(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))

Cas pratiques de dérivation de composées

Cas 1 : Fonction $f(x) = (ax + b)^n$
On identifie $u(x) = ax + b$ (intérieur) et $v(y) = y^n$ (extérieur). Alors :
$$f'(x) = n(ax + b)^{n-1} \cdot a$$

Cas 2 : Fonction $f(x) = [u(x)]^n$
Plus généralement, si la fonction intérieure n'est pas linéaire :
$$f'(x) = n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$$

Cas 3 : Fonction $f(x) = e^{u(x)}$
La dérivée de l'exponentielle est elle-même, donc :
$$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Cas 4 : Fonction $f(x) = \sqrt{u(x)}$
$$f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Cas 5 : Fonction $f(x) = \frac{1}{u(x)}$
$$f'(x) = -\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$$

Exemples détaillés

Exemple 1 : Dériver $f(x) = e^{3x^2 - 1}$.

On identifie $u(x) = 3x^2 - 1$ et $v(y) = e^y$. On a $u'(x) = 6x$. Donc :
$$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}$$

Exemple 2 : Dériver $g(x) = (2x + 1)^5$.

On identifie $u(x) = 2x + 1$ et la puissance $n = 5$. On a $u'(x) = 2$. Donc :
$$g'(x) = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$$

Exemple 3 : Dériver $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

On identifie $u(x) = x^2 + 1$. On a $u'(x) = 2x$. Donc :
$$h'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Exemple 4 : Dériver $k(x) = (x^3 - 2x)^4$.

On identifie $u(x) = x^3 - 2x$ et la puissance $n = 4$. On a $u'(x) = 3x^2 - 2$. Donc :
$$k'(x) = 4(x^3 - 2x)^3 \cdot (3x^2 - 2)$$

Dérivée seconde

La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée. Elle mesure la concavité de la courbe et sera essentielle pour étudier la convexité.

Dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Si la fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, on appelle dérivée seconde de $f$ (notée $f''$) la dérivée de $f'$ :
$$f''(x) = (f'(x))'$$
La dérivée seconde mesure la « courbure » de la courbe et joue un rôle crucial dans l'étude de la convexité.

f''(x) = (f'(x))'

Calcul de la dérivée seconde

Pour calculer la dérivée seconde, on procède en deux étapes :

  1. On calcule d'abord la dérivée première $f'(x)$ en utilisant les règles classiques
  2. On dérive ensuite $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$

On utilisé pour cela les mêmes règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) que pour la première dérivation.

Exemple progressif 1 : Soit $f(x) = x^3$. Alors $f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$.

Exemple progressif 2 : Soit $f(x) = x^4 + 2x^2 - 5$. Alors $f'(x) = 4x^3 + 4x$ et $f''(x) = 12x^2 + 4$.

Exemple progressif 3 : Soit $f(x) = e^{2x}$. Alors $f'(x) = 2e^{2x}$ et $f''(x) = 4e^{2x}$.

Calcul complet de $f'$ et $f''$

Exemple complet : Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$. Calculons $f'(x)$ et $f''(x)$.

Étape 1 : Calcul de $f'(x)$
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

Étape 2 : Calcul de $f''(x)$
$$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$$

On observe que $f''(x) = 0$ lorsque $x = 1$. Pour $x < 1$, $f''(x) < 0$ (la fonction est concave). Pour $x > 1$, $f''(x) > 0$ (la fonction est convexe). Le point d'abscisse $1$ est un point d'inflexion.

Convexité et points d'inflexion

La convexité est une propriété fondamentale des fonctions. Elle décrit la façon dont la courbe se courbe. La dérivée seconde en est l'indicateur principal.

Fonction convexe et fonction concave

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

  • $f$ est convexe sur $I$ si pour tous points $A$ et $B$ de la courbe, le segment $[AB]$ est situé au-dessus de la courbe
  • $f$ est concave sur $I$ si pour tous points $A$ et $B$ de la courbe, le segment $[AB]$ est situé au-dessous de la courbe

Intuitivement, une fonction convexe « ouvre vers le haut » (forme de $\cup$) et une fonction concave « ouvre vers le bas » (forme de $\cap$).

Lien entre convexité et dérivée seconde

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Alors :

  • $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$
  • $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \leq 0$ pour tout $x \in I$

C'est le critère fondamental pour étudier la convexité d'une fonction.

Point d'inflexion

Un point d'abscisse $x_0$ de la courbe est un point d'inflexion si la dérivée seconde s'annule et change de signe en $x_0$.

En un point d'inflexion, la courbe change de sens de concavité : elle passe de concave à convexe (ou inversement).

Attention : Il ne suffit pas que $f''(x_0) = 0$ pour que $x_0$ soit un point d'inflexion. Il faut aussi que $f''$ change de signe.

Exemple : Pour $f(x) = x^3$, on a $f''(x) = 6x$. Donc $f''(0) = 0$. De plus, $f''(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 0$. Le point $(0, 0)$ est donc un point d'inflexion.

Position relative de la courbe et des tangentes

Une propriété importante caractérise la convexité :

  • Si $f$ est convexe, la courbe est situé au-dessus de toutes ses tangentes
  • Si $f$ est concave, la courbe est situé au-dessous de toutes ses tangentes

Cette propriété est parfois plus facile à utiliser que la définition avec les sécantes, et elle est très utile pour les inégalités.

Exemple : La fonction $f(x) = e^x$ est convexe (car $f''(x) = e^x > 0$). Donc $e^x$ est au-dessus de ses tangentes. En particulier, à l'origine, on a $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x$.

Preuve : fonction convexe et tangentes

Démontrons que si $f'' > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.

Soit $a \in I$ et considérons la tangente au point $(a, f(a))$ :
$$T_a(x) = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Posons $g(x) = f(x) - T_a(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)$. Nous voulons montrer que $g(x) \geq 0$ pour tout $x \in I$.

On calcule :
$$g'(x) = f'(x) - f'(a)$$
$$g''(x) = f''(x) > 0$$

Puisque $g''(x) > 0$, la fonction $g'$ est strictement croissante. Or $g'(a) = f'(a) - f'(a) = 0$. Donc :
- pour $x < a$, $g'(x) < g'(a) = 0$, donc $g$ décroît sur $]-\infty, a]$
- pour $x > a$, $g'(x) > g'(a) = 0$, donc $g$ croît sur $[a, +\infty[$

Par conséquent, $g$ atteint son minimum en $x = a$. Or $g(a) = 0$. Donc $g(x) \geq g(a) = 0$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f(x) \geq T_a(x)$.

Convexité des fonctions usuelles

On retient les résultats suivants, à vérifier via la dérivée seconde :

  • $f(x)=x^2$ : $f''=2>0$, donc convexe sur $\mathbb{R}$.
  • $f(x)=x^3$ : $f''=6x$, donc concave sur $]-\infty,0]$ et convexe sur $[0,+\infty[$, point d'inflexion en $0$.
  • $f(x)=\sqrt{x}$ : $f''=-\frac{1}{4x^{3/2}}<0$, donc concave sur $]0,+\infty[$.
  • $f(x)=\frac{1}{x}$ : $f''=\frac{2}{x^3}$, donc concave sur $]-\infty,0[$ et convexe sur $]0,+\infty[$.
  • $f(x)=e^x$ : $f''=e^x>0$, donc convexe sur $\mathbb{R}$.
  • $f(x)=\ln(x)$ : $f''=-\frac{1}{x^2}<0$, donc concave sur $]0,+\infty[$.

Étude complète de convexité

Exemple : Étudions la convexité de $f(x) = x^3 - 3x$.

Étape 1 : Calcul de $f''(x)$
$f'(x) = 3x^2 - 3$
$f''(x) = 6x$

Étape 2 : Étude du signe de $f''(x)$
$f''(x) = 6x$. On a :
- $f''(x) < 0$ pour $x < 0$ : $f$ est concave sur $]-\infty, 0[$
- $f''(0) = 0$ et $f''$ change de signe : $x = 0$ est un point d'inflexion
- $f''(x) > 0$ pour $x > 0$ : $f$ est convexe sur $]0, +\infty[$

Étape 3 : Coordonnées du point d'inflexion
$f(0) = 0 - 0 = 0$. Le point d'inflexion est $(0, 0)$.

Résumé : La fonction $f(x) = x^3 - 3x$ est concave sur $]-\infty, 0]$ et convexe sur $[0, +\infty[$. Elle présente un point d'inflexion en $(0, 0)$.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x - 2)^4$ ?

    • A. $12(3x - 2)^3$
    • B. $4(3x - 2)^3$
    • C. $12(3x - 2)^4$
    • D. $(3x - 2)^3$

    Réponse. A. $12(3x - 2)^3$

    Explication. On utilisé la chaîne de dérivation. Si $u(x) = 3x - 2$ et $f = u^4$, alors $f'(x) = 4u^3 \cdot u' = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$.

  2. Question 2. Dériver $g(x) = e^{-x^2}$.

    • A. $e^{-x^2}$
    • B. $-2x e^{-x^2}$
    • C. $-x e^{-x^2}$
    • D. $2x e^{-x^2}$

    Réponse. B. $-2x e^{-x^2}$

    Explication. On a $u(x) = -x^2$, donc $u'(x) = -2x$. La dérivée est $g'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = -2x \cdot e^{-x^2}$.

  3. Question 3. Soit $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$. Quelle est $f'(x)$ ?

    • A. $\frac{1}{(x^2 + 1)^2}$
    • B. $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$
    • C. $\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$
    • D. $-\frac{1}{x^2}$

    Réponse. B. $\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$

    Explication. On utilisé $f(x) = [u(x)]^{-1}$ avec $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$. Donc $f'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$.

  4. Question 4. Soit $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5$. Que vaut $f''(x)$ ?

    • A. $4x^3 - 6x^2$
    • B. $12x^2 - 12x$
    • C. $12x^2 - 6x$
    • D. $4x^2 - 6x$

    Réponse. B. $12x^2 - 12x$

    Explication. $f'(x) = 4x^3 - 6x^2$. Donc $f''(x) = 12x^2 - 12x$.

  5. Question 5. Une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si :

    • A. $f'(x) > 0$ sur cet intervalle
    • B. $f''(x) \geq 0$ sur cet intervalle
    • C. $f'(x) = 0$ en un point
    • D. $f''(x) = 0$ en un point

    Réponse. B. $f''(x) \geq 0$ sur cet intervalle

    Explication. Le critère de convexité repose sur la dérivée seconde : $f$ est convexe si et seulement si $f''(x) \geq 0$. C'est le théorème fondamental liant convexité et dérivée seconde.

  6. Question 6. Soit $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on un point d'inflexion ?

    • A. $x = 2$
    • B. $x = 3$
    • C. $x = 0$
    • D. $x = 4$

    Réponse. B. $x = 3$

    Explication. $f'(x) = 3x^2 - 18x + 24$ et $f''(x) = 6x - 18 = 6(x - 3)$. On a $f''(x) = 0$ pour $x = 3$. De plus, $f''$ change de signe en $x = 3$ (négatif avant, positif après), donc $x = 3$ est un point d'inflexion.

  7. Question 7. Dériver $h(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$.

    • A. $\frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}}$
    • B. $\frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$
    • C. $\frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}}$
    • D. $\frac{2x}{2\sqrt{2x^2 + 1}}$

    Réponse. B. $\frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$

    Explication. On a $u(x) = 2x^2 + 1$, donc $u'(x) = 4x$. La dérivée est $h'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}$.

  8. Question 8. Soit $f(x) = (x^2 - 1)^3$. Que vaut $f'(x)$ ?

    • A. $3(x^2 - 1)^2$
    • B. $3(2x)(x^2 - 1)^2$
    • C. $6x(x^2 - 1)^2$
    • D. $(x^2 - 1)^2$

    Réponse. C. $6x(x^2 - 1)^2$

    Explication. On pose $u(x) = x^2 - 1$, donc $u'(x) = 2x$. La chaîne de dérivation donne $f'(x) = 3(x^2 - 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 - 1)^2$.

Exercices guidés

Exercice 1. Dériver une composée complexe et étudier les variations

Soit $f(x) = (1 - 2x)^5$. Calculez $f'(x)$ et déduisez le tableau de variations de $f$.

  1. Étape 1. Identifiez les fonctions composée. Quelle est la fonction intérieure ? Quelle est la puissance ?

    La fonction est de la forme $(u(x))^n$ avec $u(x) = 1 - 2x$ (fonction intérieure) et $n = 5$ (puissance).
    u(x) = 1 - 2x, n = 5

  2. Étape 2. Appliquez la formule de dérivation d'une puissance composée.

    On a $u'(x) = -2$. Par la chaîne de dérivation : $f'(x) = 5(1 - 2x)^4 \cdot (-2) = -10(1 - 2x)^4$.
    f'(x) = -10(1 - 2x)^4

  3. Étape 3. Étudiez le signe de $f'(x)$. Rappelez-vous que $(1 - 2x)^4 \geq 0$ (puissance paire).

    Puisque $(1 - 2x)^4 \geq 0$ pour tout $x$, on a $f'(x) = -10(1 - 2x)^4 \leq 0$ pour tout $x$. On a $f'(x) = 0$ pour $x = 1/2$. Donc $f'(x) < 0$ sur $]-\infty, 1/2[$ et $f'(x) < 0$ sur $]1/2, +\infty[$.

  4. Étape 4. Déduisez le tableau de variations.

    Puisque $f'(x) < 0$ partout sauf en $x = 1/2$ où $f'(1/2) = 0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Il n'y a pas d'extrémum local.

Exercice 2. Trouver les dérivées et analyser la convexité

Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. Calculez $f'(x)$ et $f''(x)$. Déduisez la convexité et les points d'inflexion.

  1. Étape 1. Calculez d'abord $f'(x)$ en utilisant les règles classiques.

    En dérivant terme par terme : $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.
    f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

  2. Étape 2. Calculez maintenant $f''(x)$ en dérivant $f'(x)$.

    $f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$.
    f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

  3. Étape 3. Étudiez le signe de $f''(x)$. Quand est-ce que $f''(x) = 0$ ?

    $f''(x) = 0$ lorsque $x = 2$. Pour $x < 2$, $f''(x) < 0$, et pour $x > 2$, $f''(x) > 0$. Donc $f''$ change de signe en $x = 2$.

  4. Étape 4. Déduisez la convexité et l'existence d'un point d'inflexion.

    La fonction $f$ est concave sur $]-\infty, 2]$ et convexe sur $[2, +\infty[$. Le point d'inflexion a pour abscisse $x = 2$ et pour ordonnée $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. Le point d'inflexion est $(2, 3)$.

Exercice 3. Étude complète d'une fonction

Étudiez complètement la fonction $f(x) = xe^{-x}$ : domaine, dérivée, variations, dérivée seconde, convexité, limites.

  1. Étape 1. Quel est le domaine de définition de $f$ ?

    Le domaine est $\mathbb{R}$ car la fonction est définie pour tous les réels.
    \mathbb{R}

  2. Étape 2. Calculez $f'(x)$ en utilisant la règle du produit.

    On pose $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x}$. On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$. Par la règle du produit : $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
    f'(x) = e^{-x}(1 - x)

  3. Étape 3. Étudiez le signe de $f'(x)$ et déduisez les variations.

    Puisque $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ dépend du facteur $(1 - x)$. On a $f'(x) > 0$ pour $x < 1$, $f'(1) = 0$, et $f'(x) < 0$ pour $x > 1$. Donc $f$ croît sur $]-\infty, 1]$ et décroît sur $[1, +\infty[$. Maximum en $x = 1$ avec $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = 1/e$.

  4. Étape 4. Calculez $f''(x)$ pour étudier la convexité.

    $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x}$. En dérivant : $f''(x) = -e^{-x} - (e^{-x} + x(-e^{-x})) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(x - 2)$.
    f''(x) = e^{-x}(x - 2)

  5. Étape 5. Étudiez la convexité et trouvez les points d'inflexion.

    $f''(x) < 0$ pour $x < 2$ (concave) et $f''(x) > 0$ pour $x > 2$ (convexe). Point d'inflexion en $x = 2$ avec $f(2) = 2e^{-2}$.

Exercice 4. Tangente et position relative

Soit $f(x) = x^2$. Écrivez l'équation de la tangente au point d'abscisse $a = 1$. Étudiez la position de la courbe par rapport à cette tangente.

  1. Étape 1. Calculez $f(1)$ et $f'(1)$.

    $f(1) = 1$ et $f'(x) = 2x$, donc $f'(1) = 2$.

  2. Étape 2. Écrivez l'équation de la tangente avec la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

    L'équation de la tangente est $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.
    y = 2x - 1

  3. Étape 3. Calculez $f''(x)$ pour déduire la convexité.

    $f''(x) = 2 > 0$ pour tout $x$. Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

  4. Étape 4. Utilisez le lien entre convexité et position relative pour conclure.

    Puisque $f$ est convexe, la courbe est au-dessus de la tangente. On peut vérifier : $f(x) - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ pour tout $x$, ce qui confirme que $f(x) \geq 2x - 1$.

Exercice 5. Trouver un point d inflexion

Etudier la convexité de $$f(x)=x^3-3x$$ sur $$\mathbb R$$ et déterminer s'il existe un point d inflexion.
f(x)=x^3-3x

  1. Étape 1. Calculer les dérivées utiles.

    On a $$f'(x)=3x^2-3$$ puis $$f''(x)=6x.$$
    f''(x)=6x

  2. Étape 2. Etudier le signe de la dérivée seconde.

    Si $$x<0,$$ alors $$f''(x)<0$$ et si $$x>0,$$ alors $$f''(x)>0.$$ De plus, $$f''(0)=0.$$
    f''(x)<0\text{ sur }]-\infty,0[,\quad f''(x)>0\text{ sur }]0,+\infty[

  3. Étape 3. En deduire la convexité.

    La fonction est concave sur $$]-\infty,0[$$ et convexe sur $$]0,+\infty[.$$
    \text{concave sur }]-\infty,0[,\quad \text{convexe sur }]0,+\infty[

  4. Étape 4. Conclure sur le point d inflexion.

    Comme la convexité change en $$0$$, le point d abscisse $$0$$ est un point d inflexion. Or $$f(0)=0,$$ donc le point d inflexion est $$I(0,0).$$
    I(0,0)

À retenir