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Equations polynomiales et geometrie complexe

Cette partie reprend les equations du second degre et montre pourquoi les nombres complexes servent a completer le tableau des solutions lorsque le discriminant est negatif.

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Rappels et equations du second degre

Cette partie reprend les equations du second degre et montre pourquoi les nombres complexes servent a completer le tableau des solutions lorsque le discriminant est negatif.

Discriminant

Pour $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, on pose :

$$\Delta=b^2-4ac.$$

En Premiere, si $\Delta \ge 0$, l'equation admet deux solutions reelles, une solution double, ou aucune solution reelle si on reste dans R.

Cas negatif

Si $\Delta < 0$, alors l'equation du second degre n'a pas de solution reelle mais admet deux solutions complexes conjuguees :

$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$

Ecrire la resolution

On garde la formule generale, puis on remplace $\sqrt{\Delta}$ par $i\sqrt{-\Delta}$ quand le discriminant est negatif. Le resultat doit ensuite etre presente sous forme algebrique simple.

Exemple

Pour $x^2+2x+5=0$, on a $\Delta=4-20=-16$. Donc :

$$x=\frac{-2\pm i4}{2}=-1\pm 2i.$$

Factorisation et degre

La notion de racine permet de factoriser un polynome et de controler le nombre de solutions possibles.

Factorisation par z-a

Si $P(a)=0$, alors $P(z)$ est divisible par $z-a$ :

$$P(z)=(z-a)Q(z).$$

C'est l'idee fondamentale qui relie racine et facteur.

Nombre de racines

Un polynome non nul de degre n admet au plus n racines complexes distinctes.

Cette propriete explique pourquoi la factorisation successive finit toujours par s'arreter.

Idee de preuve

Quand on a une racine a, on factorise par $z-a$. Le degre baisse d'un cran. En recommencant, on ne peut pas obtenir plus de facteurs lineaires que le degre initial.

Exemple de factorisation

Si $P(z)=z^3-1$ et $P(1)=0$, alors :

$$z^3-1=(z-1)(z^2+z+1).$$

Factorisation de $z^n-a^n$

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout complexe $a$, $a$ est racine de $P(z)=z^n-a^n$. On peut donc ecrire :

$$z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-2}z+a^{n-1}).$$

Demonstration : On verifie que $P(a)=a^n-a^n=0$, donc $(z-a)$ divise $P(z)$. En developpant le produit $(z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-1})$, on retrouve bien $z^n-a^n$ (telescope).

Cas particulier : $z^2-1=(z-1)(z+1)$, $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$.

Factorisation complete dans $\mathbb C$

Un polynome complexe non nul de degre $$n$$ admet exactement $$n$$ racines dans $$\mathbb C$$, en comptant les multiplicites.

On peut donc l ecrire sous la forme :

$$P(z)=a\prod_{k=1}^{n}(z-z_k)$$

Cette ecriture resume toute la structure du polynome.

Viete et racine connue

Les relations de Viete sont utiles pour relier les coefficients et les racines sans calculer explicitement toutes les solutions.

Relations de Viete au second degre

Pour $ax^2+bx+c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Cas d'une racine connue au troisieme degre

Si un polynome de degre 3 admet une racine connue a, on factorise par $z-a$, puis on resout le facteur du second degre restant.

Exemple

Soit $P(z)=z^3-2z^2-z+2$. On teste $z=1$ :

$$P(1)=1-2-1+2=0.$$

Donc $(z-1)$ est un facteur, et on obtient ensuite :

$$P(z)=(z-1)(z^2-z-2)=(z-1)(z-2)(z+1).$$

Bon reflexe

En pratique, on cherche d'abord des racines entieres ou rationnelles simples, puis on factorise progressivement.

Racines n-iemes de l'unite

Les racines n-iemes de l'unite forment un pont naturel entre algorithme, algebra et geometrie du plan complexe.

Definition

Les racines n-iemes de l'unite sont les solutions de :

$$z^n=1.$$

On note souvent leur ensemble $U_n$.

Description geometrique

Les elements de $U_n$ sont les points du cercle unite repartis regulierement. Ils s'ecrivent :

$$e^{2ik\pi/n}\quad (k=0,1,\dots,n-1).$$

Racines de l unite
1 w w^2 w^3 = -1 w^4 w^5
Exemple avec $n=6$ : les racines $z^6=1$ sont sur le cercle unite et forment les sommets d un polygone regulier.

Somme des racines

Si $\omega$ est une racine primitive de l'unite, alors :

$$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$

Cas particuliers

Pour $n=2$, on obtient $1$ et $-1$. Pour $n=3$, on obtient les sommets d'un triangle equilateral. Pour $n=4$, on obtient les quatres points $1,i,-1,-i$.

Equation $z^n=a$ avec $a\ne 0$

Si $$a=\rho e^{i\varphi}$$ avec $$\rho>0,$$ alors les solutions de $$z^n=a$$ sont :

$$z_k=\sqrt[n]{\rho}\,e^{i(\varphi+2k\pi)/n}\qquad (k=0,1,\dots,n-1)$$

On retrouve le meme principe que pour les racines n-iemes de l unite, mais avec un rayon $$\sqrt[n]{\rho}$$ au lieu de 1.

Resoudre $z^n=a$ en pratique

La methode est toujours la meme :

  1. ecrire $$a$$ sous forme exponentielle $$a=\rho e^{i\varphi}$$ ;
  2. prendre la racine n-ieme du module : $$\sqrt[n]{\rho}$$ ;
  3. partager l argument par $$n$$ en ajoutant $$2k\pi$$ avant de diviser ;
  4. lister les $$n$$ solutions obtenues.

Les solutions sont regulierement reparties sur un cercle.

Racines carrees d un complexe

Pour resoudre $$z^2=a$$, on ecrit d abord $$a$$ sous forme exponentielle $$a=\rho e^{i\varphi}$$ avec $$\rho>0.$$ Les deux racines carrees sont alors :

$$z_1=\sqrt\rho\,e^{i\varphi/2}, \qquad z_2=-z_1.$$

On retrouve donc toujours deux racines carrees d un complexe non nul, opposees l une de l autre.

Geometrie complexe

Le calcul complexe permet de traduire des questions de geometrie plane : alignement, orthogonalite, longueurs, angles, et polygones reguliers.

Module et distance

Si A et B ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors :

$$AB=|z_B-z_A|.$$

Le module sert donc directement a mesurer une distance dans le plan complexe.

Argument d'un quotient

Pour deux vecteurs non nuls associes aux affixes $z_1$ et $z_2$, l'argument du quotient $z_2/z_1$ traduit l'angle oriente correspondant. C'est le moyen standard de lire une rotation ou une similitude.

Quotient
z1 z2 arg(z1) arg(z2) arg(z2/z1) = arg(z2) - arg(z1) |z2/z1| = |z2| / |z1|
Le quotient $z_2/z_1$ combine deux lectures geometriques : son module vaut $|z_2|/|z_1|$ et son argument vaut $\arg(z_2)-\arg(z_1)$.

Alignement et orthogonalite

Trois points A, B, C sont alignes si et seulement si $(z_C-z_A)/(z_B-z_A)$ est reel non nul. Ils definissent un angle droit si ce quotient est imaginaire pur non nul.

Polygones reguliers

Les sommets d'un polygone regulier sont souvent modelises par des racines n-iemes de l'unite multipliees par un facteur d'echelle et eventuellement tournees. C'est un usage naturel de $e^{2i\pi/n}$.

Exemple simple

Si $z_A=1$ et $z_B=i$, alors $|z_B-z_A|=|i-1|=\sqrt{2}$, ce qui correspond a la diagonale du carre unitaire. Le calcul complexe retrouve ainsi un resultat geometrique classique.

Polynômes à coefficients réels

Lorsqu'un polynôme a des coefficients réels, ses racines complexes non réelles viennent toujours par paires conjuguées. Cela permet de factoriser entièrement sur ℝ.

Conjugaison des racines

Si $P$ est un polynôme à coefficients réels et si $z_0 \in \mathbb{C}$ est une racine de $P$, alors son conjugué $\overline{z_0}$ est également une racine de $P$ :

$$P(z_0) = 0 \implies P(\overline{z_0}) = 0$$

Conséquence : Les racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires conjuguées $\{z_0, \overline{z_0}\}$.

P(z_0)=0 \Rightarrow P(\overline{z_0})=0

Factorisation sur ℝ

Tout polynôme à coefficients réels se décompose sur $\mathbb{R}$ en produit de facteurs de degré 1 et de facteurs irréductibles de degré 2.

Un facteur de degré 2 à coefficients réels est dit irréductible sur ℝ lorsque son discriminant est strictement négatif.

Si $z_0 = a + ib$ (avec $b \neq 0$) est une racine, la paire $\{z_0, \overline{z_0}\}$ donne le facteur réel irréductible :

$$(z - z_0)(z - \overline{z_0}) = z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$$

Exemple : factoriser $P(z) = z^3 - z^2 + z - 1$

On test $z = 1$ : $P(1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$. Donc $(z-1)$ est un facteur.

Division : $P(z) = (z-1)(z^2+1)$.

Le facteur $z^2+1$ a discriminant $\Delta = -4 < 0$ : il est irréductible sur $\mathbb{R}$.

Ses racines complexes sont $z = i$ et $z = -i$ (racines conjuguées, comme attendu).

Factorisation sur ℝ : $P(z) = (z-1)(z^2+1)$. Factorisation sur ℂ : $(z-1)(z-i)(z+i)$.

Lieux geometriques dans le plan complexe

Les PDFs ajoutes insistent sur trois reflexes classiques : transformer un module en distance, une egalite de modules en lieu geometrique, et un argument en direction ou en angle.

Cercle ecrit avec un module

Une condition du type $$|z-a|=r$$ signifie que le point $$M(z)$$ est situe a la distance $$r$$ du point $$A(a).$$

Le lieu est donc le cercle de centre $$A$$ et de rayon $$r.$$

De meme, $$|z-a|\le r$$ decrit le disque ferme correspondant.

Egalite de distances

Une relation du type $$|z-a|=|z-b|$$ signifie que le point $$M$$ est a la meme distance de $$A$$ et de $$B.$$

Le lieu est donc la mediatrice du segment $$[AB].$$

C est un reflexe tres utile pour reconnaitre rapidement un ensemble de points.

Argument fixe

Une condition du type $$\arg(z-a)=\theta \ [2\pi]$$ decrit la demi-droite issue du point $$A(a)$$, orientee selon l angle $$\theta.$$

De facon plus generale, $$\arg\left(\frac{z-b}{z-a}\right)=\theta$$ traduit un angle geometrique vu depuis les points $$A$$ et $$B.$$

Exemple-type

Si $$|z-2i|=3,$$ alors $$M(z)$$ appartient au cercle de centre le point d affixe $$2i$$ et de rayon $$3.$$ Si $$|z-(1+i)|=|z-(3-i)|,$$ alors $$M$$ appartient a la mediatrice du segment joignant les points d affixes $$1+i$$ et $$3-i.$$

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si Delta < 0 pour ax^2+bx+c=0, combien y a-t-il de solutions complexes ?

    • A. 0
    • B. 1
    • C. 2 conjuguees
    • D. infinitement beaucoup

    Réponse. C. 2 conjuguees

    Explication. On obtient deux solutions complexes conjuguees.

  2. Question 2. Si P(a)=0, alors :

    • A. P est constant
    • B. P(z) est divisible par z-a
    • C. a est forcement nul
    • D. P admet une seule racine

    Réponse. B. P(z) est divisible par z-a

    Explication. Une racine fournit un facteur lineaire z-a.

  3. Question 3. Un polynome non nul de degre n admet au plus :

    • A. n+1 racines
    • B. n racines
    • C. 2n racines
    • D. aucune racine complexe

    Réponse. B. n racines

    Explication. Le nombre de racines distinctes est borne par le degre.

  4. Question 4. Les solutions de z^n = 1 sont :

    • A. des points sur une droite
    • B. des points du cercle unite reguliers
    • C. des points quelconques
    • D. toujours des reels

    Réponse. B. des points du cercle unite reguliers

    Explication. Les racines n-iemes de l'unite sont reparties regulierement sur le cercle unite.

  5. Question 5. Pour des points A et B d'affixes z_A et z_B, la distance AB vaut :

    • A. z_B-z_A
    • B. |z_B-z_A|
    • C. z_B/z_A
    • D. arg(z_B-z_A)

    Réponse. B. |z_B-z_A|

    Explication. La distance est donnee par le module de la difference des affixes.

  6. Question 6. Trois points A, B, C sont alignes si :

    • A. (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est reel non nul
    • B. z_C-z_A = 0
    • C. z_B = z_C
    • D. (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est purement imaginaire

    Réponse. A. (z_C-z_A)/(z_B-z_A) est reel non nul

    Explication. Un quotient reel traduit la colinearite des vecteurs.

Exercices guidés

Exercice 1. Resoudre une equation du second degre a solutions complexes

Resoudre dans C l equation $x^2+4x+13=0$.
x^2+4x+13=0

  1. Étape 1. Calculer le discriminant.

    On a $$\Delta = 4^2 - 4\times 1 \times 13 = 16 - 52 = -36.$$

  2. Étape 2. Utiliser la formule des solutions complexes.

    Comme $\Delta<0$, les solutions sont $$x=\frac{-4\pm i\sqrt{36}}{2}.$$

  3. Étape 3. Simplifier.

    On obtient $$x=-2\pm 3i.$$

Exercice 2. Etudier un triangle avec des affixes

Soient A, B, C d'affixes $z_A=1$, $z_B=1+i$, $z_C=i$. Montrer que le triangle ABC est rectangle isocele en B.
z_A=1,\ z_B=1+i,\ z_C=i

  1. Étape 1. Calculer les vecteurs complexes utiles.

    On calcule $$z_B-z_A=i$$ et $$z_C-z_B=-1.$$

  2. Étape 2. Interpretrer les longueurs.

    On a $$|z_B-z_A|=|i|=1$$ et $$|z_C-z_B|=|-1|=1.$$ Les deux cotes issus de B ont la meme longueur.

  3. Étape 3. Conclure sur l'angle droit.

    Le quotient $$\frac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\frac{-1}{-i}=i$$ est purement imaginaire. Donc les directions sont orthogonales et le triangle est rectangle isocele en B.

Exercice 3. Factoriser un polynome du troisieme degre

Soit $$P(z)=z^3-z^2+z-1.$$ Factoriser $$P(z)$$ puis resoudre $$P(z)=0$$ dans $\mathbb C$.
P(z)=z^3-z^2+z-1

  1. Étape 1. Chercher une racine evidente.

    On teste $$z=1$$ et on trouve $$P(1)=0.$$ Donc $$z-1$$ est un facteur.

  2. Étape 2. Factoriser.

    On regroupe : $$P(z)=z^2(z-1)+(z-1)=(z-1)(z^2+1).$$
    P(z)=(z-1)(z^2+1)

  3. Étape 3. Resoudre chaque facteur nul.

    On obtient $$z=1$$ ou $$z^2=-1,$$ donc $$z=i$$ ou $$z=-i.$$

Exercice 4. Construire un polynome reel a partir d une racine complexe

Determiner le polynome unitaire du second degre a coefficients reels qui admet $$2+i$$ pour racine.
2+i

  1. Étape 1. Utiliser la conjugaison.

    Comme les coefficients sont reels, $$2-i$$ est aussi racine.

  2. Étape 2. Ecrire le polynome factorise.

    Le polynome cherche est $$P(z)=(z-(2+i))(z-(2-i)).$$

  3. Étape 3. Developper.

    On obtient $$P(z)=((z-2)-i)((z-2)+i)=(z-2)^2+1=z^2-4z+5.$$
    P(z)=z^2-4z+5

Exercice 5. Resoudre une equation de racines quatriemes

Resoudre dans $\mathbb C$ l equation $$z^4=-1$$ et decrire geometriquement les solutions.
z^4=-1

  1. Étape 1. Ecrire $$-1$$ sous forme exponentielle.

    On a $$-1=e^{i(\pi+2k\pi)}.$$

  2. Étape 2. Traduire sur le module et l argument.

    Si $$z=re^{i\theta},$$ alors $$z^4=r^4e^{i4\theta}.$$ On obtient donc $$r=1$$ et $$4\theta=\pi+2k\pi.$$

  3. Étape 3. Lister les solutions.

    Les arguments sont $$\theta=\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}{2}$$ pour $$k=0,1,2,3.$$ Les solutions sont donc les quatre points du cercle unite aux angles $$\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4,\dfrac{7\pi}4.$$