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Fonction logarithme népérien

Avant d'aborder le logarithme, nous rappelons la fonction exponentielle, car elle est étroitement liée au logarithme (ce sont deux fonctions réciproques).

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Rappel : la fonction exponentielle

Avant d'aborder le logarithme, nous rappelons la fonction exponentielle, car elle est étroitement liée au logarithme (ce sont deux fonctions réciproques).

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie par $f(x) = e^x = \exp(x)$, où $e \approx 2,71828$ est une constante mathématique fondamentale.

La propriété fondamentale de la fonction exponentielle est :
$$e^{a+b} = e^a \times e^b$$
Cette propriété est à la base de nombreuses autres propriétés.

Domaine de définition : $\mathbb{R}$. L'exponentielle est définie pour tout nombre réel.

e^{a+b} = e^a \times e^b

Propriétés de la fonction exponentielle

Dérivée : $(e^x)' = e^x$. C'est la seule fonction qui est égale à sa dérivée !

Signe : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. L'exponentielle est toujours strictement positive.

Variations : Puisque $(e^x)' = e^x > 0$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$

Valeurs particulières : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$.

Résoudre des équations et inéquations avec l'exponentielle

L'exponentielle est une fonction strictement croissante. On utilisé cette propriété pour résoudre des équations et inéquations :

  • $e^a = e^b$ si et seulement si $a = b$
  • $e^a < e^b$ si et seulement si $a < b$

Exemple : Résoudre $e^{2x} = e^5$. Puisque l'exponentielle est bijective, on a $2x = 5$, donc $x = 5/2$.

Exemple : Résoudre $e^{x-1} > e^2$. Puisque l'exponentielle est strictement croissante, on a $x - 1 > 2$, donc $x > 3$.

Exemple : Résoudre $e^{3x} = 1$. Sachant que $e^0 = 1$, on a $3x = 0$, donc $x = 0$.

Erreurs fréquentes avec l'exponentielle

Erreur 1 : Croire que $e^{a+b} = e^a + e^b$. C'EST FAUX ! On a $e^{a+b} = e^a \times e^b$.

Erreur 2 : Croire que $e^a \times e^b = (e \times e)^{a+b}$ ou autre. NON, on a $e^a \times e^b = e^{a+b}$.

Erreur 3 : Oublier que $e^x > 0$ toujours. Cela implique que l'équation $e^x = -1$ n'a pas de solution.

Erreur 4 : Confondre $(e^x)' = e^x$ avec $(e)^x' = ?$. L'exponentielle a des propriétés très spéciales.

Définition du logarithme népérien

Le logarithme népérien (noté $\ln$) est la fonction « réciproque » de l'exponentielle. Il permet de « défaire » une exponentielle.

Logarithme népérien : définition

Le logarithme népérien, noté $\ln$, est défini comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle :

Pour tout $x > 0$, on a :
$$y = \ln(x) \iff x = e^y$$
Autrement dit, $\ln(x)$ est l'unique nombre dont l'exponentielle vaut $x$.

Domaine de définition : $\ln$ est défini uniquement pour les nombres strictement positifs, c'est-à-dire sur $]0, +\infty[$.

Ensemble de définition de la courbe : Puisque $\ln$ est la réciproque de $e^x$, la courbe de $\ln$ est la symétrique de celle de $e^x$ par rapport à la droite $y = x$.

y = \ln(x) \iff x = e^y

Relations fondamentales

Les relations suivantes découle directement de la définition :

  • $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (la composée « annule »)
  • $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$ (la composée « annule »)

Ces deux relations expriment que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.

Exemple : $\ln(e^3) = 3$ et $e^{\ln(5)} = 5$.

Valeurs particulières du logarithme

Quelques valeurs qu'il est bon de retenir :

  • $\ln(1) = 0$ (car $e^0 = 1$)
  • $\ln(e) = 1$ (car $e^1 = e$)
  • $\ln(e^2) = 2$ (par la relation fondamentale)
  • Le domaine de définition est $]0, +\infty[$ : $\ln$ n'est pas défini pour les négatifs ou zéro

Passer de l'écriture exponentielle à logarithmique et inversement

La définition du logarithme permet de convertir entre deux formes :

  • Si $e^a = b$, alors $a = \ln(b)$
  • Si $a = \ln(b)$, alors $e^a = b$

Cette conversion est très utile pour résoudre des équations.

Exemple : L'équation $e^x = 5$ peut s'écrire $x = \ln(5)$.

Exemple : L'équation $e^{2x-1} = 3$ peut s'écrire $2x - 1 = \ln(3)$, donc $2x = 1 + \ln(3)$, d'où $x = \frac{1 + \ln(3)}{2}$.

Résoudre des équations avec logarithme et exponentielle

Exemple 1 : Résoudre $e^x = 5$.

En appliquant le logarithme aux deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(5)$, donc $x = \ln(5) \approx 1,609$.

Exemple 2 : Résoudre $e^{2x-1} = 3$.

En passant au logarithme : $2x - 1 = \ln(3)$. On obtient $2x = 1 + \ln(3)$, donc $x = \frac{1 + \ln(3)}{2} \approx \frac{1 + 1,099}{2} \approx 1,049$.

Exemple 3 : Résoudre $e^{x^2} = e^4$.

Puisque l'exponentielle est bijective, on a $x^2 = 4$, donc $x = 2$ ou $x = -2$.

Exemple 4 : Résoudre $2e^{3x} = 8$.

On divise par 2 : $e^{3x} = 4$. Puis $3x = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$, donc $x = \frac{2\ln(2)}{3} \approx 0,462$.

Propriétés algébriques du logarithme

Le logarithme possède des propriétés algébriques remarquables qui permettent de simplifier des expressions complexes. Ces propriétés découlent de celle de l'exponentielle.

Propriétés algébriques du logarithme

Pour tous $a, b > 0$ et tout $n \in \mathbb{Z}$ :

  • Logarithme d'un produit : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
  • Logarithme d'un quotient : $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
  • Logarithme de l'inverse : $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
  • Logarithme d'une puissance : $\ln(a^n) = n\ln(a)$
  • Logarithme d'une racine : $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$

Preuve : logarithme d'un produit

Démontrons que $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ pour tous $a, b > 0$.

Preuve : Posons $\alpha = \ln(a)$ et $\beta = \ln(b)$. Par définition du logarithme, on a $a = e^\alpha$ et $b = e^\beta$.

Alors :
$$ab = e^\alpha \cdot e^\beta = e^{\alpha + \beta}$$
en utilisant la propriété fondamentale de l'exponentielle.

En prenant le logarithme des deux côtés :
$$\ln(ab) = \ln(e^{\alpha + \beta}) = \alpha + \beta = \ln(a) + \ln(b)$$
ce qui démontre la propriété.

ab = e^\alpha \cdot e^\beta = e^{\alpha + \beta}

Simplifier des expressions avec logarithme

Les propriétés algébriques permettent de simplifier et transformer des expressions avec logarithme.

Exemple : Simplifier $\ln(12) - \ln(3)$.

On utilisé la propriété du quotient : $\ln(12) - \ln(3) = \ln(12/3) = \ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$.

Exemple : Simplifier $\ln(8) + \ln(2)$.

On utilisé la propriété du produit : $\ln(8) + \ln(2) = \ln(8 \times 2) = \ln(16) = \ln(2^4) = 4\ln(2)$.

Exemple : Simplifier $3\ln(2) - \ln(4)$.

On a $3\ln(2) = \ln(2^3) = \ln(8)$ et $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$. Donc $3\ln(2) - \ln(4) = 3\ln(2) - 2\ln(2) = \ln(2)$.

Exemples d'équations et simplifications

Exemple 1 : Résoudre $\ln(x^2) + \ln(3) = \ln(12)$.

On utilisé $\ln(x^2) = 2\ln(|x|) = \ln(3) = \ln(12)$. En simplifiant : $\ln(3x^2) = \ln(12)$. Donc $3x^2 = 12$, d'où $x^2 = 4$ et $x = 2$ ou $x = -2$ (les deux sont solutions car $\ln(4)$ est défini).

Exemple 2 : Résoudre $\ln(x) + \ln(x - 1) = \ln(6)$ pour $x > 1$.

On combine les logarithmes : $\ln(x(x-1)) = \ln(6)$. Donc $x(x-1) = 6$, c'est-à-dire $x^2 - x - 6 = 0$. En factorisant : $(x-3)(x+2) = 0$. Les solutions sont $x = 3$ et $x = -2$, mais seule $x = 3$ satisfait la condition $x > 1$.

Exemple 3 : Simplifier $\ln(e^5) - \ln(e^2)$.

On utilisé $\ln(e^a) = a$ : $\ln(e^5) - \ln(e^2) = 5 - 2 = 3$.

Dérivée et variations du logarithme

Nous étudions maintenant les propriétés analytiques du logarithme : sa dérivée, ses variations et sa concavité.

Dérivée du logarithme

La dérivée de la fonction logarithme est :
$$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$$
pour tout $x > 0$.

Cette formule est fondamentale et doit être bien retenue. Contrairement à l'exponentielle qui est sa propre dérivée, la dérivée du logarithme décroît avec $x$.

Démonstration rapide : On utilisé le fait que $\ln$ et $e^x$ sont réciproques. Si $y = \ln(x)$, alors $e^y = x$. En dérivant implicitement : $e^y \cdot y' = 1$, donc $y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$.

(\ln(x))' = \frac{1}{x}

Dérivée de la composée avec logarithme

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, alors :

$$(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$$

Cette est la chaîne de dérivation appliquée au logarithme.

Exemple : La dérivée de $\ln(x^2 + 1)$ est $\frac{2x}{x^2 + 1}$ (en utilisant $u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$).

Exemple : La dérivée de $\ln(2x - 3)$ est $\frac{2}{2x - 3}$ (en utilisant $u(x) = 2x - 3$ et $u'(x) = 2$).

(\ln(u))' = \frac{u'}{u}

Variations et concavité du logarithme

Puisque $(\ln(x))' = \frac{1}{x} > 0$ pour tout $x > 0$, la fonction logarithme est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

De plus, la dérivée seconde est $(\ln(x))'' = -\frac{1}{x^2} < 0$ pour tout $x > 0$. Donc le logarithme est concave sur $]0, +\infty[$.

Cela signifie que la courbe du logarithme « ouvre vers le bas ».

Résoudre équations et inéquations avec $\ln$

Comme $\ln$ est une bijection strictement croissante de $]0,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$ :

  • $\ln(f(x)) = \ln(g(x)) \iff f(x) = g(x)$ (et $f(x)>0$, $g(x)>0$)
  • $\ln(f(x)) \leq \ln(g(x)) \iff f(x) \leq g(x)$ (et $f(x)>0$, $g(x)>0$)

Méthode : Dès qu'une équation/inéquation fait intervenir $\ln$, on vérifie les conditions de positivité puis on « enlève le $\ln$ » en exploitant la bijectivité.

Exemple 1 : $\ln(x+1) = \ln(3)$. Condition : $x+1>0$, i.e. $x>-1$. Puis $x+1=3$, donc $x=2$.

Exemple 2 : $\ln(x) \leq 2$. On a $\ln(x) \leq \ln(e^2)$, donc $x \leq e^2$ (et $x>0$). Solution : $x \in ]0, e^2]$.

Étudier les variations d'une fonction avec logarithme

Pour étudier les variations d'une fonction contenant un logarithme :

  1. Calculez la dérivée en utilisant $\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u}$
  2. Étudiez le signe de la dérivée
  3. Déduisez les variations

Exemple : Étudier $f(x) = \ln(x) - x$ sur $]0, +\infty[$.

La dérivée est $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$. On a $f'(x) > 0$ pour $0 < x < 1$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 1$. Donc $f$ croît sur $]0, 1]$ et décroît sur $[1, +\infty[$. Maximum en $x = 1$ avec $f(1) = \ln(1) - 1 = -1$.

Limites et croissance comparée

Nous étudions maintenant le comportement asymptotique du logarithme et sa croissance par rapport à d'autres fonctions.

Limites du logarithme

Les limites aux bornes du domaine de définition sont :

  • $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ : le logarithme croît sans bornes vers l'infini
  • $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ : quand $x$ s'approche de 0 par la droite, le logarithme tend vers $-\infty$

Ces limites montrent que le logarithme est défini sur $]0, +\infty[$ et prend toutes les valeurs réelles.

Croissance comparée : logarithme vs puissance

Le logarithme croît plus lentement que toute puissance positive de $x$. Plus précisément :

  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ pour tout $n > 0$
  • $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
  • $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$

Ces résultats disent que asymptotiquement, $x$ croît bien plus vite que $\ln(x)$.

Preuve de la croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$

Nous prouvons que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

Considérons la fonction $f(x) = \ln(x) - \frac{x}{2}$. On a $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - x}{2x}$.

Pour $x > 2$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $[2, +\infty[$.

De plus, $f(2) = \ln(2) - 1 < 0$ (car $\ln(2) \approx 0,693$). Donc pour tout $x \geq 2$, $f(x) \leq f(2) < 0$.

Cela signifie $\ln(x) < \frac{x}{2}$, donc $\frac{\ln(x)}{x} < \frac{1}{2}$ pour $x > 2$.

Quand $x \to +\infty$, on a $\frac{\ln(x)}{x} \to 0$ puisque $0 < \frac{\ln(x)}{x} < \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2} \to 0$ (non, mais $\frac{\ln(x)}{x}$ est encadré et tend vers 0).

Limite et équivalent de $\ln(1+x)$ en 0

Quand $x \to 0$ :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$

Ce résultat se lit : $\ln(1+x) \sim x$ au voisinage de 0 (le logarithme de $1+x$ se comporte comme $x$ pour $x$ petit).

Démonstration : C'est exactement la définition de la dérivée de $\ln$ en $x = 1$ (car $\frac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x} \to \ln'(1) = 1$).

Applications :

  • $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+3x)}{x} = 3$ (par changement de variable $u = 3x$).
  • $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$ — on utilise $\cos x \approx 1 - x^2/2$ et $\ln(1+u) \approx u$ pour $u$ petit.
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

Utiliser la croissance comparée pour lever des formes indéterminées

Quand on rencontre une limite qui donne une forme indéterminée impliquant $\ln$ et des puissances, on utilisé la croissance comparée.

Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$.

C'est une forme $\frac{\infty}{\infty}$. Par la croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

Exemple : Calculer $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$.

C'est une forme $0 \times (-\infty)$. Par la croissance comparée, $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.

Exemple : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$.

En réécrivant : $\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \frac{\ln(x)}{x^{1/2}}$. Par croissance comparée avec $n = 1/2$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^{1/2}} = 0$.

Calculs de limites avec logarithme

Exemple 1 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x}$.

En réécrivant : $\frac{(\ln(x))^2}{x} = \ln(x) \cdot \frac{\ln(x)}{x}$. Quand $x \to +\infty$, $\ln(x) \to +\infty$ mais $\frac{\ln(x)}{x} \to 0$. Avec la croissance comparée, le produit $\ln(x) \cdot \frac{\ln(x)}{x}$ converge aussi vers 0 (car $\ln(x)$ croît bien moins vite que $x$).

Réponse : $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} = 0$.

Exemple 2 : Calculer $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$.

C'est une forme $0 \times (-\infty)$. Par croissance comparée avec $n = 2$, $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x) = 0$.

Exemple 3 : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x)$.

Les deux termes tendent vers l'infini mais avec des vitesses différentes. Puisque $\ln(x)$ croît bien plus lentement que $x$, on a $\lim_{x \to +\infty} (\ln(x) - x) = -\infty$.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quelle est la valeur de $\ln(e^4)$ ?

    • A. $4e$
    • B. $4$
    • C. $e^4$
    • D. $0$

    Réponse. B. $4$

    Explication. Par la relation fondamentale $\ln(e^x) = x$, on a $\ln(e^4) = 4$.

  2. Question 2. Résoudre l'équation $e^{2x} = 7$.

    • A. $x = \ln(7)/2$
    • B. $x = 2\ln(7)$
    • C. $x = 7/2$
    • D. $x = e^7/2$

    Réponse. A. $x = \ln(7)/2$

    Explication. En prenant le logarithme : $2x = \ln(7)$, donc $x = \ln(7)/2$.

  3. Question 3. Simplifier $\ln(6) - \ln(2)$.

    • A. $\ln(4)$
    • B. $\ln(3)$
    • C. $\ln(12)$
    • D. $\ln(2) + \ln(3)$

    Réponse. B. $\ln(3)$

    Explication. Par la propriété du quotient : $\ln(6) - \ln(2) = \ln(6/2) = \ln(3)$.

  4. Question 4. Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 3)$ ?

    • A. $\frac{1}{x^2 + 3}$
    • B. $\frac{2x}{x^2 + 3}$
    • C. $\frac{x}{x^2 + 3}$
    • D. $\frac{2x + 3}{x^2 + 3}$

    Réponse. B. $\frac{2x}{x^2 + 3}$

    Explication. En utilisant $(\ln(u))' = u'/u$ avec $u(x) = x^2 + 3$ et $u'(x) = 2x$ : $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$.

  5. Question 5. Simplifier $3\ln(2) + \ln(4) - \ln(8)$.

    • A. $\ln(2)$
    • B. $\ln(4)$
    • C. $0$
    • D. $\ln(1)$

    Réponse. B. $\ln(4)$

    Explication. On a $3\ln(2)=\ln(8)$, donc $3\ln(2)+\ln(4)-\ln(8)=\ln(8)+\ln(4)-\ln(8)=\ln(4)$.

  6. Question 6. Quelle est la limite de $\ln(x)/x$ quand $x \to +\infty$ ?

    • A. $+\infty$
    • B. $1$
    • C. $0$
    • D. $-1$

    Réponse. C. $0$

    Explication. Par la croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \ln(x)/x = 0$. Le logarithme croît bien plus lentement que $x$.

  7. Question 7. Résoudre $\ln(x) + \ln(2) = \ln(10)$.

    • A. $x = 5$
    • B. $x = 8$
    • C. $x = 10/2$
    • D. $x = 10$

    Réponse. A. $x = 5$

    Explication. On combine : $\ln(2x) = \ln(10)$, donc $2x = 10$ et $x = 5$.

  8. Question 8. Que vaut la dérivée seconde de $f(x) = \ln(x)$ ?

    • A. $-1/x^2$
    • B. $1/x$
    • C. $1/x^2$
    • D. $-1/x$

    Réponse. A. $-1/x^2$

    Explication. $(\ln(x))' = 1/x$. La dérivée seconde est $(\ln(x))'' = (-1/x^2)$.

Exercices guidés

Exercice 1. Résoudre une équation mixte avec $\ln$ et $e^x$

Résoudre l'équation $2e^{3x} = 10 \cdot e^{-x}$ pour $x \in \mathbb{R}$.
2e^{3x} = 10 \cdot e^{-x}

  1. Étape 1. Divisez les deux côtés par $e^{-x}$ pour regrouper les exponentielles.

    En divisant par $e^{-x}$ (qui est toujours non-nul) : $2e^{3x} / e^{-x} = 10$. Donc $2e^{3x - (-x)} = 10$, c'est-à-dire $2e^{4x} = 10$.
    2e^{4x} = 10

  2. Étape 2. Simplifiez en divisant par 2.

    $e^{4x} = 5$.
    e^{4x} = 5

  3. Étape 3. Appliquez le logarithme pour résoudre en $x$.

    En prenant le logarithme : $4x = \ln(5)$.
    4x = \ln(5)

  4. Étape 4. Isolez $x$.

    $x = \frac{\ln(5)}{4} \approx \frac{1,609}{4} \approx 0,402$.
    x = \frac{\ln(5)}{4}

Exercice 2. Étude complète d'une fonction logarithmique

Étudiez complètement la fonction $f(x) = x - \ln(x)$ sur son domaine : variations, dérivée, convexité, limites.
f(x) = x - \ln(x)

  1. Étape 1. Quel est le domaine de définition ?

    Le domaine est $]0, +\infty[$ car le logarithme n'est défini que pour les positifs.
    ]0, +\infty[

  2. Étape 2. Calculez la dérivée $f'(x)$.

    $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.
    f'(x) = \frac{x - 1}{x}

  3. Étape 3. Étudiez le signe de $f'(x)$ et les variations.

    $f'(x) < 0$ pour $0 < x < 1$ (décroissance) et $f'(x) > 0$ pour $x > 1$ (croissance). Minimum en $x = 1$ avec $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

  4. Étape 4. Calculez la dérivée seconde pour étudier la convexité.

    $f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ pour tout $x > 0$. Donc $f$ est convexe sur $]0, +\infty[$.
    f''(x) = \frac{1}{x^2}

  5. Étape 5. Étudiez les limites aux bornes.

    $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty - \infty$, mais puisque $x$ croît bien plus vite que $\ln(x)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Exercice 3. Croissance comparée et limite

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$ en utilisant la croissance comparée.
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}

  1. Étape 1. Comparez le numérateur et le dénominateur. Quel est le comportement asymptotique de $\ln(x^2 + 1)$ ?

    Pour grand $x$, $x^2 + 1 \approx x^2$, donc $\ln(x^2 + 1) \approx \ln(x^2) = 2\ln(x)$.
    \ln(x^2 + 1) \approx 2\ln(x)

  2. Étape 2. Réécrivez la limite en utilisant cette approximation.

    $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} \approx \lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln(x)}{x}$.

  3. Étape 3. Utilisez la croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$.

    Par croissance comparée, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

  4. Étape 4. Déduisez la limite demandée.

    $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} = 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 2 \cdot 0 = 0$.
    0

Exercice 4. Inéquation logarithmique

Résoudre l'inéquation $\ln(2x - 1) > 1$.
\ln(2x - 1) > 1

  1. Étape 1. Quel est d'abord le domaine de définition ? Pour que $\ln(2x - 1)$ existe, que doit-il être satisfait ?

    Il faut $2x - 1 > 0$, donc $x > 1/2$. Le domaine est $]1/2, +\infty[$.
    x > 1/2

  2. Étape 2. Appliquez l'exponentielle aux deux côtés pour « défaire » le logarithme. Rappel : si $\ln(a) > b$, alors $a > e^b$ (car $e^x$ est croissante).

    En appliquant l'exponentielle : $2x - 1 > e^1 = e$.
    2x - 1 > e

  3. Étape 3. Résolvez l'inéquation en $x$.

    $2x > 1 + e$, donc $x > \frac{1 + e}{2}$.
    x > \frac{1 + e}{2}

  4. Étape 4. Vérifiez que cette solution respecte le domaine.

    Puisque $e \approx 2,718$, on a $\frac{1 + e}{2} \approx \frac{3,718}{2} \approx 1,859 > 1/2$, donc la condition est bien dans le domaine de définition. Solution finale : $x \in \left(\frac{1 + e}{2}, +\infty\right)$.

Exercice 5. Montrer qu une équation a une unique solution

Montrer que l'équation $$\ln(x)=2-x$$ admet une unique solution sur $$]0,+\infty[$$, puis l encadrer.
\ln(x)=2-x

  1. Étape 1. Ramener le problème a l etude d'une fonction.

    On pose $$g(x)=\ln(x)+x-2$$ sur $$]0,+\infty[.$$ Resoudre $$\ln(x)=2-x$$ revient a resoudre $$g(x)=0.$$
    g(x)=\ln(x)+x-2

  2. Étape 2. Etudier les variations de $$g$$.

    On a $$g'(x)=\frac1x+1.$$ Pour tout $$x>0,$$ cette dérivée est strictement positive, donc $$g$$ est strictement croissante sur $$]0,+\infty[.$$
    g'(x)=\frac1x+1>0

  3. Étape 3. Chercher un changement de signe.

    On calcule $$g(1)=\ln(1)+1-2=-1$$ et $$g(2)=\ln(2)+2-2=\ln(2)>0.$$
    g(1)<0\quad\text{et}\quad g(2)>0

  4. Étape 4. Conclure.

    Comme $$g$$ est continue et strictement croissante, elle coupe l axe une seule fois. L'équation admet donc une unique solution $$\alpha$$ avec $$1<\alpha<2.$$
    \exists!\,\alpha\in]1,2[

À retenir