Terminale specialite

Fonctions sinus et cosinus

Le cercle trigonométrique est l'outil fondamental pour comprendre les fonctions trigonométriques. Un angle peut être mesuré en degrés ou en radians : $1\text{ rad} = \frac{180°}{\pi}$.

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Rappels : cercle trigonométrique et angles

Le cercle trigonométrique est l'outil fondamental pour comprendre les fonctions trigonométriques. Un angle peut être mesuré en degrés ou en radians : $1\text{ rad} = \frac{180°}{\pi}$.

Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. Pour un angle $\theta$ (en radians), le point $M(\theta)$ situé sur ce cercle a pour coordonnées $(\cos(\theta), \sin(\theta))$.

M(\theta) = (\cos(\theta), \sin(\theta))

Valeurs remarquables

Voici les valeurs essentielles à retenir :

  • $\cos(0) = 1, \quad \sin(0) = 0$
  • $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
  • $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}, \quad \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
  • $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0, \quad \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
  • $\cos(\pi) = -1, \quad \sin(\pi) = 0$

Relation fondamentale : Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$.

\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1

Conversion degrés et radians

Pour convertir un angle de degrés en radians : $\theta_{\text{rad}} = \frac{\theta_{°} \times \pi}{180}$. Inversement : $\theta_{°} = \frac{\theta_{\text{rad}} \times 180}{\pi}$.

Exemple : $45° = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ rad.

Exemple : $60° = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ rad.

Exemple : $180° = \frac{180\pi}{180} = \pi$ rad.

\theta_{\text{rad}} = \frac{\theta_{°} \cdot \pi}{180}

Parite et périodicité

Pour tout reel $$x,$$ on a :

$$\cos(-x)=\cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(-x)=-\sin(x).$$

Le cosinus est donc pair et le sinus est impair.

On a aussi :

$$\cos(x+2\pi)=\cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(x+2\pi)=\sin(x).$$

Les deux fonctions sont donc $$2\pi$$-periodiques. Ces propriétés permettent de ramener l etude a un intervalle de reference comme $$[-\pi,\pi]$$ ou $$[0,2\pi].$$

La fonction cosinus

La fonction cosinus associe à chaque angle réel $x$ l'abscisse du point correspondant sur le cercle trigonométrique. C'est une fonction périodique de période $2\pi$, définie sur $\mathbb{R}$.

Fonction cosinus

La fonction cosinus, notée $\cos : \mathbb{R} \to [-1, 1]$, associe à tout réel $x$ l'abscisse du point $M(x)$ sur le cercle trigonométrique.

Propriétés algébriques : pour tout $x \in \mathbb{R}$,

  • $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ (périodicité)
  • $\cos(-x) = \cos(x)$ (fonction paire)
  • $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$
  • $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$
\cos : \mathbb{R} \to [-1, 1]

Dérivée et variations du cosinus

La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est : $$\cos'(x) = -\sin(x)$$

Variations sur $[0, \pi]$ : Puisque $\sin(x) \geq 0$ sur $[0, \pi]$, on a $\cos'(x) = -\sin(x) \leq 0$. Donc $\cos$ est décroissante sur $[0, \pi]$, passant de $\cos(0) = 1$ à $\cos(\pi) = -1$.

Variations sur $[\pi, 2\pi]$ : Puisque $\sin(x) \leq 0$ sur $[\pi, 2\pi]$, on a $\cos'(x) \geq 0$. Donc $\cos$ est croissante sur $[\pi, 2\pi]$, passant de $-1$ à $1$.

Maximum : $1$ en $x = 2k\pi$. Minimum : $-1$ en $x = (2k+1)\pi$.

\cos'(x) = -\sin(x)

Courbe représentative du cosinus

La courbe de $\cos$ est une courbe régulière et périodique qui oscille entre $-1$ et $1$ avec période $2\pi$.

Caractéristiques graphiques :

  • Amplitude : $1$
  • Période : $T = 2\pi$
  • Symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire)
  • Pas d'asymptotes
T = 2\pi

Exemple : étudier $\cos(x)$ sur $[-\pi, \pi]$

Sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$, la fonction $\cos$ :

  • croît de $-1$ à $1$ sur $[-\pi, 0]$ (car $\cos'(x) = -\sin(x) \geq 0$ quand $x \in [-\pi, 0]$)
  • décroît de $1$ à $-1$ sur $[0, \pi]$
  • atteint un maximum de $1$ en $x = 0$
  • atteint un minimum de $-1$ en $x = -\pi$ et $x = \pi$
\cos(0) = 1, \quad \cos(\pm\pi) = -1

La fonction sinus

La fonction sinus associe à chaque angle réel $x$ l'ordonnée du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Comme le cosinus, c'est une fonction périodique de période $2\pi$.

Fonction sinus

La fonction sinus, notée $\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1]$, associe à tout réel $x$ l'ordonnée du point $M(x)$ sur le cercle trigonométrique.

Propriétés algébriques : pour tout $x \in \mathbb{R}$,

  • $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ (périodicité)
  • $\sin(-x) = -\sin(x)$ (fonction impaire)
  • $\sin(\pi - x) = \sin(x)$
  • $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$
\sin : \mathbb{R} \to [-1, 1]

Dérivée et variations du sinus

La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est : $$\sin'(x) = \cos(x)$$

Variations sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ : Puisque $\cos(x) \geq 0$ sur cet intervalle, $\sin$ est strictement croissante, passant de $-1$ à $1$.

Variations sur $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ : Puisque $\cos(x) \leq 0$, $\sin$ est strictement décroissante, passant de $1$ à $-1$.

Maximum : $1$ en $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Minimum : $-1$ en $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

\sin'(x) = \cos(x)

Courbe représentative du sinus

La courbe de $\sin$ est une courbe régulière et périodique qui oscille entre $-1$ et $1$ avec période $2\pi$.

Caractéristiques graphiques :

  • Amplitude : $1$
  • Période : $T = 2\pi$
  • Symétrie centrale par rapport à l'origine (fonction impaire)
  • Passe par l'origine : $\sin(0) = 0$
T = 2\pi

Exemple : étudier $\sin(x)$ sur $[-\pi, \pi]$

Sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$, on repère d'abord les valeurs remarquables :

  • $\sin(-\pi)=0$
  • $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$
  • $\sin(0)=0$
  • $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
  • $\sin(\pi)=0$

On en déduit les variations :

  • $\sin$ décroît de $0$ à $-1$ sur $[-\pi,-\frac{\pi}{2}]$
  • $\sin$ croît de $-1$ à $1$ sur $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
  • $\sin$ décroît de $1$ à $0$ sur $[\frac{\pi}{2},\pi]$
\sin(\frac{\pi}{2}) = 1, \quad \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1

Équations et inéquations trigonométriques

Résoudre une équation trigonométrique consiste à trouver tous les réels $x$ vérifiant la condition. On utilisé les propriétés de périodicité et de symétrie du cercle trigonométrique.

Résoudre $\cos(x) = a$

Soit $a \in [-1, 1]$.

Sur $[0, \pi]$ : La fonction cosinus est strictement décroissante de $1$ à $-1$. Donc l'équation $\cos(x) = a$ admet une unique solution $\alpha \in [0, \pi]$.

Sur $[-\pi, \pi]$ : Par parité du cosinus, les solutions sont $x = \alpha$ et $x = -\alpha$.

Dans $\mathbb{R}$ : Par périodicité : $$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Si $|a| > 1$, il n'y a pas de solution.

x = \pm \alpha + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}

Résoudre $\sin(x) = a$

Soit $a \in [-1, 1]$.

Sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ : La fonction sinus est strictement croissante de $-1$ à $1$. Donc l'équation $\sin(x) = a$ admet une unique solution $\beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Sur $[-\pi, \pi]$ : Par la propriété $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, l'autre solution est $x = \pi - \beta$.

Dans $\mathbb{R}$ : $$x = \beta + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \beta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

x = \beta + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \beta + 2k\pi

Résoudre les inéquations trigonométriques

Pour résoudre $\cos(x) \leq a$ ou $\sin(x) \geq a$ :

  1. Résoudre l'équation associée ($\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$)
  2. Sur le cercle trigonométrique ou la courbe, repérer les zones où l'inégalité est satisfaite
  3. Exprimer la solution sur $[-\pi, \pi]$
  4. Généraliser à $\mathbb{R}$ par périodicité

Conseil : Dessiner toujours le cercle trigonométrique ou la courbe pour visualiser.

Exemples d'équations

Exemple 1 : Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.

On sait que $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Donc $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = -\frac{\pi}{3}$.

Dans $\mathbb{R}$ : $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Exemple 2 : Résoudre $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.

On sait que $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\beta = \frac{\pi}{4}$. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Dans $\mathbb{R}$ : $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

Erreurs courantes

Erreur 1 : Oublier la période. Les solutions d'une équation trigonométrique forment des familles infinies. Ne pas ajouter $+ 2k\pi$ est une erreur grave.

Erreur 2 : Confondre les deux familles de solutions. Pour $\sin(x) = a$, il y a deux familles : $\beta + 2k\pi$ et $(\pi - \beta) + 2k\pi$.

Erreur 3 : Si $|a| > 1$, les équations $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$ n'ont pas de solution.

Erreur 4 : Oublier de vérifier les solutions sur un intervalle restreint quand le problème impose un domaine.

Étude de fonctions trigonométriques

Pour étudier des fonctions combinant des fonctions trigonométriques avec des coefficients, on utilisé les techniques classiques : domaine, dérivée, variations, extrema.

Méthode : étudier $f(x) = a \cos(bx + c) + d$

Étape 1 — Paramètres :

  • $|a|$ = amplitude (étirement vertical)
  • $b$ = pulsation ; période $T = \frac{2\pi}{|b|}$
  • $c$ = déphasage (translation horizontale)
  • $d$ = décalage vertical

Étape 2 : Domaine (généralement $\mathbb{R}$) et période.

Étape 3 : Dérivée : $f'(x) = -ab\sin(bx + c)$.

Étape 4 : Étudier le signe de $f'(x)$ et construire le tableau de variations.

Étape 5 : Extrema : $f_{\max} = d + |a|$ et $f_{\min} = d - |a|$.

f'(x) = -ab\sin(bx + c)

Exemple d'étude complète : $f(x) = 2\cos(x) - 1$

Domaine : $\mathbb{R}$. Période : $2\pi$.

Dérivée : $f'(x) = -2\sin(x)$.

Variations sur $[0, 2\pi]$ :

  • $f'(x) = 0$ si $\sin(x) = 0$, soit $x = 0, \pi, 2\pi$
  • $f'(x) < 0$ sur $(0, \pi)$ : $f$ décroît
  • $f'(x) > 0$ sur $(\pi, 2\pi)$ : $f$ croît

Extrema :

  • Maximum : $f(0) = 2(1) - 1 = 1$ en $x = 2k\pi$
  • Minimum : $f(\pi) = 2(-1) - 1 = -3$ en $x = \pi + 2k\pi$

Zéros : $2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.

f_{\max} = 1, \, f_{\min} = -3

Démonstration : dérivée de $\sin(x)$

Montrons que $\sin'(x) = \cos(x)$ en utilisant le taux d'accroissement.

$$\sin'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$$

Utilisons la formule d'addition $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ :

$$\sin'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}$$

$$= \sin(x) \cdot \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}}_{= 0} + \cos(x) \cdot \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}}_{= 1}$$

Donc $\sin'(x) = \cos(x)$. ∎

\sin'(x) = \cos(x)

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quelle est la valeur de $\sin(\frac{5\pi}{6})$ ?

    • A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • B. $\frac{1}{2}$
    • C. $-\frac{1}{2}$
    • D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

    Réponse. B. $\frac{1}{2}$

    Explication. $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$, donc par la formule $\sin(\pi - x) = \sin(x)$ : $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

  2. Question 2. La fonction $\cos$ est-elle croissante ou décroissante sur $[0, \pi]$ ?

    • A. Croissante
    • B. Décroissante
    • C. Croissante puis décroissante
    • D. Décroissante puis croissante

    Réponse. B. Décroissante

    Explication. Sur $[0, \pi]$, la dérivée $\cos'(x) = -\sin(x)$ est négative (car $\sin(x) > 0$ pour $x \in (0, \pi)$). Donc $\cos$ est décroissante sur $[0, \pi]$, passant de $1$ à $-1$.

  3. Question 3. Résoudre $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.

    • A. $\frac{\pi}{3}$ et $-\frac{\pi}{3}$
    • B. $\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{2\pi}{3}$
    • C. $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$
    • D. $\frac{5\pi}{6}$ et $-\frac{5\pi}{6}$

    Réponse. B. $\frac{2\pi}{3}$ et $-\frac{2\pi}{3}$

    Explication. On cherche $\alpha \in [0, \pi]$ tel que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$. Puisque $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, on a $\cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, donc $\alpha = \frac{2\pi}{3}$. Les solutions sur $[-\pi, \pi]$ sont $x = \frac{2\pi}{3}$ et $x = -\frac{2\pi}{3}$.

  4. Question 4. Quelle est la période de la fonction $f(x) = \sin(3x)$ ?

    • A. $\pi$
    • B. $\frac{2\pi}{3}$
    • C. $3\pi$
    • D. $2\pi$

    Réponse. B. $\frac{2\pi}{3}$

    Explication. Pour $f(x) = \sin(bx)$, la période est $T = \frac{2\pi}{|b|}$. Ici $b = 3$, donc $T = \frac{2\pi}{3}$.

  5. Question 5. Quel est le maximum de $f(x) = 3\cos(x) + 2$ ?

    • A. $2$
    • B. $3$
    • C. $5$
    • D. $6$

    Réponse. C. $5$

    Explication. Le cosinus varie entre $-1$ et $1$. Le maximum de $3\cos(x)$ est $3$. Donc le maximum de $f$ est $3 + 2 = 5$, atteint quand $\cos(x) = 1$.

  6. Question 6. Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(2x + 1)$ ?

    • A. $\cos(2x + 1)$
    • B. $2\cos(2x + 1)$
    • C. $-2\cos(2x + 1)$
    • D. $\sin(2x + 1)$

    Réponse. B. $2\cos(2x + 1)$

    Explication. Par la règle de chaîne, $f'(x) = \cos(2x + 1) \cdot (2x + 1)' = 2\cos(2x + 1)$.

  7. Question 7. Sur $[-\pi, \pi]$, l'ensemble solution de $\sin(x) \geq \frac{1}{2}$ est :

    • A. $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$
    • B. $[0, \frac{\pi}{6}]$
    • C. $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$
    • D. $[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$

    Réponse. A. $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$

    Explication. Les solutions de $\sin(x) = \frac{1}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$ sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$. Le sinus est $\geq \frac{1}{2}$ entre ces deux valeurs : $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

  8. Question 8. Quelle propriété caractérise la parité de la fonction sinus ?

    • A. $\sin(-x) = \sin(x)$ (paire)
    • B. $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire)
    • C. $\sin(-x) = \cos(x)$
    • D. $\sin(-x) = \frac{1}{\sin(x)}$

    Réponse. B. $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire)

    Explication. La fonction sinus est impaire : $\sin(-x) = -\sin(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Exercices guidés

Exercice 1. Résoudre $2\sin(x) - 1 = 0$ sur $[-\pi, \pi]$

Résoudre l'équation $2\sin(x) - 1 = 0$ sur l'intervalle $[-\pi, \pi]$. Interpréter géométriquement.
2\sin(x) = 1

  1. Étape 1. Isoler $\sin(x)$. Quel angle a un sinus égal à $\frac{1}{2}$ ?

    On a $\sin(x) = \frac{1}{2}$. On sait que $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, donc $\beta = \frac{\pi}{6}$.
    \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}

  2. Étape 2. L'autre solution sur $[-\pi, \pi]$ utilisé $\sin(\pi - x) = \sin(x)$.

    La deuxième solution est $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
    x = \frac{5\pi}{6}

  3. Étape 3. Vérifier les deux solutions.

    $2\sin(\frac{\pi}{6}) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$ ✓. Et $2\sin(\frac{5\pi}{6}) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$ ✓.

  4. Étape 4. Interpréter sur le cercle trigonométrique.

    Sur le cercle trigonométrique, les points $M(\frac{\pi}{6})$ et $M(\frac{5\pi}{6})$ ont pour ordonnée $\frac{1}{2}$. Le premier est dans le 1er quadrant, le second dans le 2e. Les solutions sont $x = \frac{\pi}{6}$ et $x = \frac{5\pi}{6}$.

Exercice 2. Étudier $f(x) = \cos(2x)$ sur $[-\pi, \pi]$

Effectuer une étude complète de $f(x) = \cos(2x)$ sur $[-\pi, \pi]$ : période, dérivée, variations, extrema.
f(x) = \cos(2x)

  1. Étape 1. Identifier l'amplitude, la pulsation et la période.

    Amplitude $= 1$, pulsation $b = 2$, période $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
    T = \pi

  2. Étape 2. Calculer $f'(x)$ et trouver les points critiques sur $[-\pi, \pi]$.

    $f'(x) = -2\sin(2x)$. On a $f'(x) = 0$ quand $\sin(2x) = 0$, soit $2x = k\pi$, donc $x = \frac{k\pi}{2}$. Sur $[-\pi, \pi]$ : $x = -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi$.
    f'(x) = -2\sin(2x)

  3. Étape 3. Étudier le signe de $f'(x)$ et construire le tableau de variations.

    Sur $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ : $\sin(2x) > 0$ donc $f'(x) < 0$, $f$ décroît. Sur $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ : $\sin(2x) < 0$ donc $f'(x) > 0$, $f$ croît. Sur $(0, \frac{\pi}{2})$ : $\sin(2x) > 0$ donc $f'(x) < 0$, $f$ décroît. Sur $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ : $\sin(2x) < 0$ donc $f'(x) > 0$, $f$ croît.

  4. Étape 4. Calculer les valeurs aux points critiques.

    $f(-\pi) = \cos(-2\pi) = 1$, $f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\pi) = -1$, $f(0) = 1$, $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$, $f(\pi) = 1$. La courbe oscille entre $-1$ et $1$ avec période $\pi$ : deux oscillations complètes sur $[-\pi, \pi]$.
    f_{\max} = 1, \, f_{\min} = -1

Exercice 3. Résoudre $\cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$

Résoudre l'inéquation $\cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.
\cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}

  1. Étape 1. Résoudre d'abord $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[-\pi, \pi]$.

    On sait que $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Par parité : les solutions sont $x = \frac{\pi}{4}$ et $x = -\frac{\pi}{4}$.
    x = \pm\frac{\pi}{4}

  2. Étape 2. Étudier le signe de $\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}$ entre ces deux valeurs et à l'extérieur.

    Le cosinus est maximal en $x = 0$ (où $\cos(0) = 1 > \frac{\sqrt{2}}{2}$) et vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$ aux bornes. Donc $\cos(x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ et $\cos(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ à l'extérieur.

  3. Étape 3. Écrire l'ensemble solution.

    L'ensemble solution est $x \in \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.
    x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})

Exercice 4. Optimisation : hauteur d'un objet oscillant

Un objet a pour hauteur $h(t) = 5 + 3\cos(\frac{\pi t}{6})$ (en mètres), $t$ en secondes, $t \in [0, 12]$. Trouver la hauteur maximale, minimale, et les instants correspondants.
h(t) = 5 + 3\cos(\frac{\pi t}{6})

  1. Étape 1. Identifier l'amplitude, la période et le décalage vertical.

    Amplitude $= 3$, pulsation $= \frac{\pi}{6}$, période $T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ s, décalage $= 5$.
    T = 12 \text{ s}

  2. Étape 2. Calculer les valeurs extrêmes de $h(t)$.

    Le cosinus varie entre $-1$ et $1$. Donc $h(t)$ varie entre $5 - 3 = 2$ m et $5 + 3 = 8$ m.
    h \in [2, 8]

  3. Étape 3. Quand la hauteur est-elle maximale ?

    $h_{\max} = 8$ quand $\cos(\frac{\pi t}{6}) = 1$, soit $\frac{\pi t}{6} = 2k\pi$, donc $t = 12k$. Dans $[0, 12]$ : $t = 0$ et $t = 12$.
    t = 0, 12

  4. Étape 4. Quand la hauteur est-elle minimale ?

    $h_{\min} = 2$ quand $\cos(\frac{\pi t}{6}) = -1$, soit $\frac{\pi t}{6} = \pi + 2k\pi$, donc $t = 6 + 12k$. Dans $[0, 12]$ : $t = 6$ s.
    t = 6

Exercice 5. Resoudre une équation avec angle double

Resoudre sur $$[0,2\pi]$$ l'équation $$\sin(2x)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
\sin(2x)=\frac{\sqrt3}{2}

  1. Étape 1. Poser un nouvel angle.

    On pose $$y=2x.$$ Comme $$x\in[0,2\pi],$$ on a alors $$y\in[0,4\pi].$$
    y=2x

  2. Étape 2. Resoudre l'équation en $$y$$.

    On sait que $$\sin(y)=\frac{\sqrt3}{2}$$ pour $$y=\frac\pi3+2k\pi$$ ou $$y=\frac{2\pi}3+2k\pi.$$
    y=\frac\pi3+2k\pi\quad\text{ou}\quad y=\frac{2\pi}3+2k\pi

  3. Étape 3. Garder les valeurs de $$y$$ dans $$[0,4\pi]$$.

    On obtient $$y\in\left\{\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac{7\pi}3,\frac{8\pi}3\right\}.$$
    y\in\left\{\frac\pi3,\frac{2\pi}3,\frac{7\pi}3,\frac{8\pi}3\right\}

  4. Étape 4. Revenir a $$x$$.

    En divisant par $$2,$$ on trouve $$x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi3,\frac{7\pi}6,\frac{4\pi}3\right\}. $$
    x\in\left\{\frac\pi6,\frac\pi3,\frac{7\pi}6,\frac{4\pi}3\right\}

À retenir