Terminale specialite

Géométrie vectorielle de l'espace

En Premiere, on a travaille les vecteurs du plan. En Terminale, on generalise tout cela a l'espace avec trois coordonnées et de nouveaux objets : droites, plans, vecteurs normaux.

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Repère, base et calculs sur les vecteurs

En Premiere, on a travaille les vecteurs du plan. En Terminale, on generalise tout cela a l'espace avec trois coordonnées et de nouveaux objets : droites, plans, vecteurs normaux.

Coordonnées dans l'espace

Dans un repère de l'espace, un point s'écrit $A(x_A,y_A,z_A)$ et un vecteur $\vec u$ s'écrit $(a,b,c)$.

Les calculs se font coordonnée par coordonnée, comme dans le plan, mais avec une troisieme composante.

Vecteur, milieu et distance

Si $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$, alors :

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A)$$

Le milieu $M$ de $[AB]$ a pour coordonnées :

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$$

La distance $AB$ vaut :

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

Base et repère de l'espace

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace. Dans une base $(\vec i,\vec j,\vec k)$, tout vecteur $\vec u$ s'écrit de maniere unique :

$$\vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k$$

Le triplet $(x,y,z)$ donne les coordonnées du vecteur dans cette base.

Pourquoi la decomposition est unique

Si un même vecteur s ecrivait de deux manieres différentes :

$$x\vec i+y\vec j+z\vec k = x'\vec i+y'\vec j+z'\vec k$$

alors on aurait :

$$(x-x')\vec i+(y-y')\vec j+(z-z')\vec k=\vec 0$$

Comme $(\vec i,\vec j,\vec k)$ est une base, la seule relation lineaire possible est la relation triviale, donc $x=x'$, $y=y'$ et $z=z'$.

Droites et plans

La droite est dirigée par un vecteur. Le plan peut être dirige par deux vecteurs non colinéaires ou caracterise par un vecteur normal.

Droite de l'espace

Une droite passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u(a,b,c)$ admet une représentation parametrique :

$$\left\{\begin{array}{l}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{array}\right.$$

Le reel $t$ est un paramètre.

Plan de l'espace

Un plan passant par un point $A$ et dirige par deux vecteurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec v$ est l'ensemble des points $M$ tels que :

$$\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v$$

avec $s$ et $t$ reels.

Vecteur normal et équation cartesienne

Un vecteur $\vec n(a,b,c)$ est normal a un plan s'il est orthogonal a tous les vecteurs directeurs du plan.

Un plan de vecteur normal $(a,b,c)$ admet une équation cartesienne :

$$ax+by+cz+d=0$$

Réciproquement, toute équation de cette forme definit un plan si $(a,b,c)\ne(0,0,0)$.

Appartenance d'un point et intersection droite-plan

Pour savoir si un point appartient a une droite parametrique, on cherche un même paramètre $t$ qui convient dans les trois équations.

Pour savoir si un point appartient a un plan d équation $ax+by+cz+d=0$, on remplace simplement ses coordonnées.

Pour trouver l intersection d'une droite et d'un plan, on remplace les expressions de $x$, $y$ et $z$ de la droite dans l'équation du plan : on obtient une équation en $t$.

Exemple : intersection d'une droite et d'un plan

Considerons la droite :

$$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$$

et le plan $$P: x+y+z=6.$$

On remplace dans l'équation du plan :

$$(1+t)+(2-t)+(1+2t)=6$$

soit $$4+2t=6,$$ donc $$t=1.$$ Le point d intersection est alors $$I(2,1,3).$$

Exemples

Droite : la droite passant par $A(2,-1,3)$ et dirigée par $(1,4,-2)$ s'écrit :

$$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+4t\\ z=3-2t\end{array}\right.$$

Plan : le plan passant par $A(1,2,0)$ et de normal $(2,-1,3)$ admet une équation :

$$2x-y+3z+d=0$$

Comme $A$ appartient au plan, on trouve $d=0$, donc :

$$2x-y+3z=0$$

Produit scalaire, orthogonalité et distances

Le produit scalaire et les normes permettent de traduire l orthogonalité et de calculer des distances dans l'espace.

Définition géométrique du produit scalaire

Si $\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs non nuls et $\theta$ l'angle entre eux, le produit scalaire est :

$$\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$$

Si l'un des vecteurs est nul, $\vec u \cdot \vec v = 0$ par convention.

Conséquence : $\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$.

Cas particulier : $\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$.

\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta

Identités remarquables du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ :

  • $\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$
  • $\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$
  • $(\vec u + \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) = \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2$

Formule de polarisation : $\vec u \cdot \vec v = \dfrac{\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2}{2}$

Ces identités sont identiques à celles du calcul algébrique, en remplaçant le carré d un nombre par la norme au carré d un vecteur.

Produit scalaire dans l'espace

Dans un repère orthonorme, si $\vec u(x,y,z)$ et $\vec v(x',y',z')$, alors :

$$\vec u \cdot \vec v = xx'+yy'+zz'$$

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

\vec u \cdot \vec v = xx'+yy'+zz'

Norme d'un vecteur

La norme du vecteur $\vec u(x,y,z)$ est :

$$\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Elle permet de retrouver la distance entre deux points : $$AB=\|\overrightarrow{AB}\|.$$

Critères de parallelisme et de perpendicularité

Dans l'espace, on retient les critères suivants :

  • une droite de vecteur directeur $\vec u$ est parallèle a un plan de normal $\vec n$ si $$\vec u\cdot\vec n=0$$ ;
  • une droite est perpendiculaire a un plan si son vecteur directeur est colinéaire a un vecteur normal du plan ;
  • deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ;
  • deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Projection orthogonale

Le projete orthogonal d'un point $M$ sur une droite ou un plan est le point $H$ tel que $MH$ soit perpendiculaire a cet objet.

Le point projete est aussi le point le plus proche.

Exemple : projection orthogonale sur une droite

Soit la droite $D$ passant par $A(1,0,0)$ et de vecteur directeur $$\vec u=(1,1,0).$$ On veut projeter le point $$M(1,2,0)$$ sur $D$.

Un point de $D$ s'écrit $$H(1+t,t,0).$$ Comme $H$ est le projete de $M$, le vecteur $$\overrightarrow{MH}=(t,t-2,0)$$ doit être orthogonal a $$\vec u=(1,1,0).$$

On ecrit alors :

$$\overrightarrow{MH}\cdot\vec u=t+(t-2)=0$$

d ou $$2t-2=0$$ puis $$t=1.$$ Le projete est donc $$H(2,1,0)$$ et la distance du point $M$ a la droite vaut $$MH=\sqrt{2}.$$

Distance d'un point a un plan

Si le plan $P$ a pour équation :

$$ax+by+cz+d=0$$

et si $M(x_0,y_0,z_0)$ est un point, alors :

$$d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Cette formule repose sur la projection du vecteur vers la direction normale au plan.

d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Méthodes et traduction en systèmes

La plupart des problèmes de géométrie de l'espace se traduisent en équations ou en systèmes lineaires. Le bon réflexe est de passer par les coordonnées.

Etudier une droite et un plan

1. Identifier le vecteur directeur de la droite.

2. Identifier le vecteur normal du plan.

3. Pour une intersection, remplacer l'expression parametrique de la droite dans l'équation du plan.

4. Pour une perpendicularité, utiliser le produit scalaire.

5. Pour une decomposition, resoudre le système lineaire obtenu.

Pourquoi les systèmes lineaires apparaissent

Vérifier qu'un point appartient a une droite ou a un plan, trouver une intersection, calculer un projete orthogonal ou decomposer un vecteur sur une base reviennent presque toujours a resoudre un système lineaire.

La géométrie de l'espace se traite donc très souvent par calcul coordonne.

Erreurs classiques

Les erreurs les plus frequentes sont :

  • confondre vecteur directeur et vecteur normal ;
  • oublier un signe dans $\overrightarrow{AB}$ ;
  • confondre équation parametrique de droite et équation cartesienne de plan ;
  • utiliser une formule de distance sans vérifier que le repère est orthonorme.

Coplanarité et angles

La coplanarité de vecteurs et le calcul d'angles entre une droite et un plan (ou entre deux plans) sont des questions classiques qui s'expriment via le produit scalaire.

Coplanarité de vecteurs

Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si l'un d'eux est une combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire s'il existe des réels $s$ et $t$ tels que :

$$\vec w = s\vec u + t\vec v$$

De même, quatre points $A, B, C, D$ sont coplanaires si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

Méthode : on resout le système $s\vec u + t\vec v = \vec w$ (3 équations en 2 inconnues $s,t$). S'il admet une solution, les vecteurs sont coplanaires.

Angle entre une droite et un plan

Soit une droite $D$ de vecteur directeur $\vec u$ et un plan $P$ de vecteur normal $\vec n$.

L'angle $\alpha$ entre la droite $D$ et le plan $P$ est le complément de l'angle entre $\vec u$ et $\vec n$ :

$$\sin \alpha = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{\|\vec u\| \cdot \|\vec n\|}$$

L'angle $\alpha$ est compris dans $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Cas particuliers :

  • $\alpha = 0$ : la droite est parallèle au plan ($\vec u \cdot \vec n = 0$) ;
  • $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ : la droite est perpendiculaire au plan ($\vec u$ colinéaire à $\vec n$).
\sin\alpha = \frac{|\vec u\cdot\vec n|}{\|\vec u\|\|\vec n\|}

Angle entre deux plans

Soit deux plans $P_1$ et $P_2$ de vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$.

L'angle dièdre $\theta$ entre les deux plans vérifie :

$$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\| \cdot \|\vec{n_2}\|}$$

L'angle est compris dans $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Cas particuliers :

  • $\theta = 0$ : les plans sont parallèles ($\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires) ;
  • $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ : les plans sont perpendiculaires ($\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$).
\cos\theta = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|}

QCM du chapitre

  1. Question 1. Dans l'espace, un point $A$ s'écrit :

    • A. $(x_A,y_A)$
    • B. $(x_A,y_A,z_A)$
    • C. $(a,b,c,d)$
    • D. $(x,y)$

    Réponse. B. $(x_A,y_A,z_A)$

    Explication. Dans l'espace, il faut trois coordonnées.

  2. Question 2. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si :

    • A. leur produit scalaire vaut 0
    • B. leur norme vaut 0
    • C. ils sont colinéaires
    • D. ils sont egaux

    Réponse. A. leur produit scalaire vaut 0

    Explication. C'est la caractérisation fondamentale de l orthogonalité.

  3. Question 3. Une équation cartesienne de plan est de la forme :

    • A. $ax+by+cz+d=0$
    • B. $y=mx+p$
    • C. $x=a+t$
    • D. $\|\vec u\|=1$

    Réponse. A. $ax+by+cz+d=0$

    Explication. Le triplet $(a,b,c)$ est un vecteur normal du plan.

  4. Question 4. Une droite de vecteur directeur $\vec u$ est parallèle a un plan de normal $\vec n$ si :

    • A. $\vec u\cdot\vec n=0$
    • B. $\vec u=\vec n$
    • C. $\|\vec u\|=\|\vec n\|$
    • D. $\vec u$ et $\vec n$ sont orthogonaux a tous les vecteurs

    Réponse. A. $\vec u\cdot\vec n=0$

    Explication. Le vecteur directeur de la droite doit être orthogonal au vecteur normal du plan.

  5. Question 5. Deux plans sont perpendiculaires lorsque :

    • A. leurs vecteurs normaux sont colinéaires
    • B. leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
    • C. ils ont la même équation
    • D. ils ne se coupent pas

    Réponse. B. leurs vecteurs normaux sont orthogonaux

    Explication. La perpendicularité de deux plans se lit sur leurs vecteurs normaux.

Exercices guidés

Exercice 1. Ecrire une droite parametrique

Ecrire une représentation parametrique de la droite passant par $A(2,-1,3)$ et de vecteur directeur $\vec u(1,4,-2)$.
\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+4t\\ z=3-2t\end{array}\right.

  1. Étape 1. Utiliser la forme générale.

    Une droite passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $(a,b,c)$ s'écrit $$\left\{\begin{array}{l}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{array}\right..$$

  2. Étape 2. Remplacer les coordonnées de $A$ et de $\vec u$.

    On obtient directement $$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+4t\\ z=3-2t\end{array}\right..$$
    \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+4t\\ z=3-2t\end{array}\right.

Exercice 2. Trouver une équation de plan

Déterminer une équation cartesienne du plan passant par $A(1,2,0)$ et de vecteur normal $\vec n(2,-1,3)$.
2x-y+3z+d=0

  1. Étape 1. Ecrire l'équation générale avec le vecteur normal.

    Comme le vecteur normal est $(2,-1,3)$, une équation du plan est $$2x-y+3z+d=0.$$
    2x-y+3z+d=0

  2. Étape 2. Utiliser le point $A$.

    Le point $A(1,2,0)$ appartient au plan, donc $$2\times1-2+3\times0+d=0$$ d ou $d=0$. L'équation cherchée est donc $$2x-y+3z=0.$$
    2x-y+3z=0

Exercice 3. Calculer une distance point-plan

Calculer la distance du point $M(1,0,0)$ au plan $P: x+2y+2z-5=0$.
d(M,P)=\frac{|1-5|}{\sqrt{1+4+4}}

  1. Étape 1. Identifier les coefficients du plan.

    Ici $a=1$, $b=2$, $c=2$ et $d=-5$. Le point est $M(1,0,0)$.

  2. Étape 2. Appliquer la formule.

    On obtient $$d(M,P)=\frac{|1\cdot1+2\cdot0+2\cdot0-5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{4}{3}.$$
    \frac{4}{3}

Exercice 4. Trouver l intersection d'une droite et d'un plan

Déterminer le point d intersection de la droite $$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$$ avec le plan $$P: x+y+z=6.$$
x=1+t,\ y=2-t,\ z=1+2t,\ x+y+z=6

  1. Étape 1. Remplacer les expressions de la droite dans l'équation du plan.

    On obtient $$(1+t)+(2-t)+(1+2t)=6,$$ soit $$4+2t=6.$$
    4+2t=6

  2. Étape 2. Trouver $t$ puis les coordonnées du point.

    On trouve $$t=1.$$ Le point d intersection est donc $$I(2,1,3).$$
    I(2,1,3)

Exercice 5. Tester l appartenance a un plan par un système

Soit le plan $P$ passant par $A(1,0,2)$ et dirige par $$\vec u=(1,1,0)$$ et $$\vec v=(0,1,1).$$ Le point $M(3,3,4)$ appartient-il a $P$ ?
\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v

  1. Étape 1. Ecrire le vecteur $\overrightarrow{AM}$.

    On a $$\overrightarrow{AM}=(3-1,3-0,4-2)=(2,3,2).$$
    \overrightarrow{AM}=(2,3,2)

  2. Étape 2. Traduire l appartenance par un système.

    Le point $M$ appartient au plan si on peut ecrire $$\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v.$$ Cela donne le système :

    $$\left\{\begin{array}{l}s=2\\ s+t=3\\ t=2\end{array}\right.$$

    s=2, \quad s+t=3, \quad t=2

  3. Étape 3. Conclure.

    Les équations $$s=2$$ et $$t=2$$ imposent $$s+t=4$$, ce qui contredit la deuxieme équation. Le système n'a pas de solution, donc $$M\notin P.$$
    M \notin P

À retenir