Terminale specialite

Intégrales et calcul intégral

Les intégrales permettent de reconstruire une grandeur globale a partir d'une fonction : aire, distance, valeur moyenne... Elles prolongent naturellement le chapitre sur les primitives.

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Primitive, fonction intégrale et théorème fondamental

Les intégrales permettent de reconstruire une grandeur globale a partir d'une fonction : aire, distance, valeur moyenne... Elles prolongent naturellement le chapitre sur les primitives.

Fonction intégrale

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et soit $a \in I$. On definit :

$$F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

La fonction $F_a$ est appelée fonction intégrale associee a $f$ et au point de depart $a$.

F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt

Existence des primitives

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet au moins une primitive sur $I$.

En particulier, la fonction intégrale $F_a$ définie ci-dessus est une primitive de $f$ :

$$F_a'(x)=f(x)$$

F_a'(x)=f(x)

Théorème fondamental du calcul intégral

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

C'est la formule essentielle pour calculer une intégrale définie.

\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)

Démonstration du théorème fondamental (cas $f$ croissante)

On suppose $f$ continue et strictement croissante sur $[a,b]$. Montrons que $F_a'(x_0) = f(x_0)$ pour tout $x_0 \in ]a,b[$.

Pour $h > 0$ petit, on a sur $[x_0, x_0+h]$ :

$$f(x_0) \leq f(t) \leq f(x_0+h)$$

En intégrant et en divisant par $h$ :

$$f(x_0) \leq \frac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h} \leq f(x_0+h)$$

Quand $h \to 0$, $f(x_0+h) \to f(x_0)$ par continuité. Par le théorème des gendarmes :

$$\lim_{h \to 0} \frac{F_a(x_0+h)-F_a(x_0)}{h} = f(x_0)$$

Donc $F_a'(x_0) = f(x_0)$.

Calculer une fonction intégrale $F_a$

Pour calculer $$F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt,$$ on cherche d'abord une primitive $G$ de $f$.

On ecrit ensuite :

$$F_a(x)=G(x)-G(a)$$

On pense enfin a vérifier que $$F_a(a)=0$$ et que $$F_a'(x)=f(x).$$

F_a(x)=G(x)-G(a)

Premiers exemples

Exemple 1 : une primitive de $2x+1$ est $x^2+x+C$.

Exemple 2 : si $$F(x)=\int_0^x (2t+1)\,dt,$$ alors $F'(x)=2x+1$ et comme $F(0)=0$, on trouve $$F(x)=x^2+x.$$

Calcul d intégrales définies

Une fois une primitive trouvée, le calcul d'une intégrale définie devient très systematique.

Propriétés a connaitre

Les intégrales définies verifient des propriétés de calcul proches de celles des sommes :

  • Linearite : $$\int_a^b (\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$$
  • Additivite : $$\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$$
  • Changement de sens : $$\int_a^b f = -\int_b^a f$$

Méthode de calcul

1. Chercher une primitive $F$ de la fonction a intégrer.

2. Evaluer $F$ aux bornes.

3. Faire la différence $F(b)-F(a)$.

4. Penser au signe si les bornes sont inversees.

Exemple détaillé

Calculons :

$$\int_0^2 (3x^2+1)\,dx$$

Une primitive de $3x^2+1$ est $F(x)=x^3+x$. Donc :

$$\int_0^2 (3x^2+1)\,dx = F(2)-F(0)=(8+2)-0=10$$

Positivité et comparaison des intégrales

Soit $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$ avec $a \le b$.

  • Positivité : Si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$.
  • Comparaison : Si $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x \in [a,b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \ge \int_a^b g(x)\,dx$.

Démonstration de la positivité : Soit $F$ une primitive de $f$. Comme $f \ge 0$, la fonction $F$ est croissante sur $[a,b]$, donc $F(b) \ge F(a)$, d'où $\int_a^b f \ge 0$.

Cas $f$ négative : Si $f(x) \le 0$ sur $[a,b]$, l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses vaut $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

\int_a^b f \ge 0 \text{ si } f \ge 0

Intégration par parties

L intégration par parties est une nouvelle méthode de calcul. Elle provient directement de la dérivée d'un produit.

Formule d intégration par parties

Si $u$ et $v$ sont derivables, alors :

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$$

On la retient souvent sous la forme : $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx

Démonstration

On part de la dérivée du produit :

$$(uv)'=u'v+uv'$$

En integrant sur $[a,b]$, on obtient :

$$[uv]_a^b = \int_a^b u'v + \int_a^b uv'$$

Il suffit alors d isoler l'intégrale cherchée.

Exemple : $\int_0^1 xe^x dx$

On choisit $u=x$ et $dv=e^x dx$. Alors $du=dx$ et $v=e^x$.

La formule donne :

$$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e-(e-1)=1$$

Aires, valeur moyenne et approximation

L'intégrale a un sens géométrique et physique très fort. Elle permet aussi des calculs approches.

Aire sous une courbe et aire entre deux courbes

Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$, l aire sous la courbe de $f$ vaut :

$$A=\int_a^b f(x)\,dx$$

Si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a,b]$, alors l aire entre les deux courbes vaut :

$$A=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$$

On intégrer toujours courbe du haut moins courbe du bas.

Valeur moyenne et rectangles

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est :

$$m=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

Quand une intégrale est difficile, on peut l approcher par des rectangles :

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum f(x_i)\Delta x$$

Distance parcourue a partir d'une vitesse positive

Si une vitesse $v(t)$ est continue et positive sur $[a,b]$, alors la distance parcourue entre les instants $a$ et $b$ vaut :

$$d=\int_a^b v(t)\,dt$$

Quand la vitesse reste positive, cette intégrale représente bien une distance et pas seulement une variation algebrique.

d=\int_a^b v(t)\,dt

Exemple : distance parcourue

Une voiture roule avec la vitesse $$v(t)=2t+10$$ (en m.s$^{-1}$) pour $t$ entre $0$ et $3$ secondes.

La distance parcourue est :

$$d=\int_0^3 (2t+10)\,dt=[t^2+10t]_0^3=9+30=39$$

La voiture parcourt donc $39$ metres.

Approximation par rectangles : exemple détaillé

Approchons $$\int_0^2 (x+1)\,dx$$ par 4 rectangles de même largeur, en prenant les extremites gauches.

La largeur vaut $$\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5.$$ Les hauteurs sont :

$$f(0)=1,\quad f(0{,}5)=1{,}5,\quad f(1)=2,\quad f(1{,}5)=2{,}5$$

L aire approchee vaut donc :

$$0{,}5\times(1+1{,}5+2+2{,}5)=0{,}5\times7=3{,}5$$

L aire exacte vaut $$\int_0^2 (x+1)\,dx=4,$$ donc l approximation est ici une sous-estimation.

Exemple : aire entre deux courbes

Sur $[0,1]$, considerons $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^2$.

Comme $x+1 \ge x^2$ sur $[0,1]$, l aire vaut :

$$A=\int_0^1 (x+1-x^2)dx$$

Une primitive est $\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{x^3}{3}$, donc :

$$A=\frac76$$

Suites d intégrales

Le programme mentionne aussi des suites définies par des intégrales. Elles servent a faire le lien entre analyse et suites.

Exemple fondamental

Pour tout entier $n \ge 0$, on pose :

$$I_n = \int_0^1 x^n\,dx$$

On obtient une suite réelle $(I_n)$ définie a partir d'une intégrale.

I_n = \int_0^1 x^n\,dx

Calcul de $I_n$

Une primitive de $x^n$ est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Donc :

$$I_n = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$$

On en deduit que :

$$I_n \to 0 \text{ quand } n \to +\infty$$

Suite d'intégrales avec relation de récurrence par IPP

Pour $n \ge 0$, on pose $$J_n = \int_1^e x(\ln x)^n\,dx.$$

Calcul de $J_0$ : $J_0 = \displaystyle\int_1^e x\,dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^e = \dfrac{e^2-1}{2}$.

Relation de récurrence : On applique une IPP avec $u=(\ln x)^n$ et $dv=x\,dx$, donc $du = \dfrac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\,dx$ et $v=\dfrac{x^2}{2}$.

$$J_n = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^n\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{n}{2}J_{n-1}$$

On obtient la relation : $$J_n = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{n}{2}J_{n-1}$$

Cette relation permet de calculer tous les $J_n$ par récurrence à partir de $J_0$.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $F'=f$, alors $F$ est :

    • A. une dérivée de $f$
    • B. une primitive de $f$
    • C. une constante
    • D. une limite de $f$

    Réponse. B. une primitive de $f$

    Explication. C'est la définition d'une primitive.

  2. Question 2. Une primitive de $1/x$ sur $\mathbb{R}^*$ est :

    • A. $\ln(x)$
    • B. $\ln|x|$
    • C. $1/x^2$
    • D. $x\ln(x)$

    Réponse. B. $\ln|x|$

    Explication. Il faut la valeur absolue pour traiter les deux signes de $x$.

  3. Question 3. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(x)dx$ vaut :

    • A. $F(a)+F(b)$
    • B. $F(b)-F(a)$
    • C. $f(b)-f(a)$
    • D. $F'(b)-F'(a)$

    Réponse. B. $F(b)-F(a)$

    Explication. C'est le théorème fondamental du calcul intégral.

  4. Question 4. La formule d intégration par parties vient :

    • A. de la dérivée du produit
    • B. de la dérivée du quotient
    • C. de la continuité
    • D. du TVI

    Réponse. A. de la dérivée du produit

    Explication. On intégrer la formule $(uv)'=u'v+uv'$.

  5. Question 5. Pour une vitesse positive $v(t)$ sur $[a,b]$, la distance parcourue vaut :

    • A. $v(b)-v(a)$
    • B. $\int_a^b v(t)\,dt$
    • C. $v(a)+v(b)$
    • D. $\dfrac{v(a)+v(b)}{2}$

    Réponse. B. $\int_a^b v(t)\,dt$

    Explication. L'intégrale d'une vitesse positive sur un intervalle de temps donne la distance parcourue.

  6. Question 6. Si $F_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, alors on a toujours :

    • A. $F_a(a)=1$
    • B. $F_a(a)=a$
    • C. $F_a(a)=0$
    • D. $F_a(a)=f(a)$

    Réponse. C. $F_a(a)=0$

    Explication. Une intégrale prise entre $a$ et $a$ vaut toujours $0$.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une intégrale simple

Calculer $\displaystyle \int_0^2 (3x^2+1)\,dx$.
\int_0^2 (3x^2+1)\,dx

  1. Étape 1. Trouver une primitive.

    Une primitive de $3x^2+1$ est $$F(x)=x^3+x.$$
    F(x)=x^3+x

  2. Étape 2. Appliquer la formule $F(b)-F(a)$.

    On calcule $$F(2)-F(0)=(8+2)-0=10.$$
    10

Exercice 2. Intégration par parties : $\int_0^1 xe^x dx$

Calculer $\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx$ par intégration par parties.
\int_0^1 xe^x\,dx

  1. Étape 1. Choisir $u$ et $dv$.

    On prend $u=x$ et $dv=e^x dx$. Alors $$du=dx \quad \text{et} \quad v=e^x.$$
    u=x, \; dv=e^x dx

  2. Étape 2. Conclure.

    On obtient $$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = 1.$$
    1

Exercice 3. Calculer une fonction intégrale

Soit $$F(x)=\int_1^x (2t-3)\,dt.$$ Déterminer une expression de $F(x)$ puis calculer $F'(x)$.
F(x)=\int_1^x (2t-3)\,dt

  1. Étape 1. Trouver une primitive de $2t-3$.

    Une primitive de $2t-3$ est $$G(t)=t^2-3t.$$
    G(t)=t^2-3t

  2. Étape 2. Calculer $F(x)=G(x)-G(1)$.

    On obtient $$F(x)=x^2-3x-(1-3)=x^2-3x+2.$$
    F(x)=x^2-3x+2

  3. Étape 3. Dériver $F$.

    En derivant, on trouve $$F'(x)=2x-3,$$ ce qui est bien la fonction de depart.
    F'(x)=2x-3

Exercice 4. Distance parcourue a partir d'une vitesse

Une particule se déplace avec la vitesse $$v(t)=4t+1$$ pour $t$ entre $0$ et $2$ secondes. Calculer la distance parcourue.
\int_0^2 (4t+1)\,dt

  1. Étape 1. Ecrire l'intégrale correspondante.

    La distance est $$d=\int_0^2 (4t+1)\,dt.$$
    d=\int_0^2 (4t+1)\,dt

  2. Étape 2. Trouver une primitive de $4t+1$.

    Une primitive de $4t+1$ est $$F(t)=2t^2+t.$$
    F(t)=2t^2+t

  3. Étape 3. Calculer $F(2)-F(0)$.

    On obtient $$d=F(2)-F(0)=(8+2)-0=10.$$ La particule parcourt $10$ metres.
    10

À retenir