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Matrices

En Premiere et en specialite, on a deja rencontre des tableaux de coefficients pour ecrire des systemes, ainsi que des transformations du plan comme les rotations. Le chapitre matrices met tout cela dans un meme langage de calcul.

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Rappel rapide

Pourquoi introduire les matrices

Une matrice permet de stocker des nombres de facon organisee, mais surtout de composer des calculs.

On s en sert pour ecrire un systeme lineaire, suivre une suite definie par recurrence, ou coder une transformation geometrique du plan.

Reflexe de lecture

Devant un exercice sur les matrices, on commence toujours par identifier :

la dimension des matrices ;
le sens des lignes et des colonnes ;
l operation a faire : somme, produit, inverse, puissance ou systeme.

Definition et matrices particulieres

Le PDF ajoute les notations precises et les familles de matrices a connaitre. C est la base de tout le reste.

Definition generale

Une matrice $$A$$ de dimension $$n \times p$$ est un tableau de reels a $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes.

On la note souvent $$A=(a_{ij})$$, ou $$a_{ij}$$ designe le coefficient situe a l intersection de la ligne $$i$$ et de la colonne $$j$$.

L ensemble des matrices de dimension $$n \times p$$ est note $$M_{n,p}(\mathbb R).$$

Matrices ligne, colonne et carree

Si $$n=1,$$ on parle de matrice ligne. Si $$p=1,$$ on parle de matrice colonne. Si $$n=p,$$ la matrice est carree.

Dans une matrice carree, la diagonale principale est formee des coefficients $$a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}.$$

Matrices particulieres

La matrice identite $$I_n$$ possede des $$1$$ sur la diagonale principale et des $$0$$ ailleurs.

Une matrice diagonale d ordre $$n$$ ne peut avoir de coefficients non nuls que sur sa diagonale principale.

Une matrice carree est symetrique quand $$A^T=A.$$

Transposee

La transposee de $$A=(a_{ij})$$ est la matrice $$A^T=(a_{ji}).$$ On obtient donc $$A^T$$ en echangeant lignes et colonnes.

On retient aussi : $$\left(A^T\right)^T=A$$ et $$\left(A+B\right)^T=A^T+B^T.$$

Operations sur les matrices

Le calcul matriciel repose sur trois operations de base : addition, multiplication par un reel et produit matriciel. C est cette troisieme operation qui porte toute la puissance du chapitre.

Addition et produit par un scalaire

Si $$A=(a_{ij})$$ et $$B=(b_{ij})$$ sont de meme dimension, alors :

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}).$$

Si $$\lambda$$ est un reel, alors :

$$\lambda A=(\lambda a_{ij}).$$

Ces deux operations se font coefficient par coefficient.

Produit matriciel

Si $$A$$ est de dimension $$n \times p$$ et $$B$$ de dimension $$p \times q,$$ alors le produit $$AB$$ existe et est une matrice de dimension $$n \times q.$$

Son coefficient general est :

$$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}. $$

Comment calculer un coefficient de $$AB$$

Pour calculer le coefficient $$ (i,j) $$ de $$AB$$, on croise la ligne $$i$$ de $$A$$ avec la colonne $$j$$ de $$B$$.

On multiplie les termes correspondants puis on additionne. C est un produit ligne-colonne.

Proprietes a retenir

Quand les dimensions conviennent, on a :

$$A(B+C)=AB+AC, \qquad (A+B)C=AC+BC, \qquad (AB)C=A(BC).$$

La matrice identite verifie $$AI=IA=A.$$ En revanche, en general, $$AB\ne BA$$.

Inversion, puissances et diagonalisation

Le PDF insiste sur trois outils centraux : reconnaitre une matrice inversible, calculer des puissances, puis utiliser la diagonalisation quand elle est donnee.

Matrice inverse

Une matrice carree $$A$$ est inversible s il existe une matrice $$A^{-1}$$ telle que :

$$AA^{-1}=A^{-1}A=I.$$

Si une telle matrice n existe pas, on dit que $$A$$ est singuliere.

Cas d une matrice d ordre 2

Pour $$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},$$ on pose :

$$\det(A)=ad-bc.$$

La matrice $$A$$ est inversible si et seulement si $$\det(A)\ne 0.$$ Dans ce cas :

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.$$

Formule pratique pour l inverse

Pour une matrice d ordre 2, on permute les coefficients de la diagonale principale, on change le signe des deux autres, puis on divise par le determinant.

Le premier reflexe est donc toujours de verifier que $$ad-bc\ne 0.$$

Puissance n-ieme

Pour une matrice carree $$A,$$ on definit :

$$A^0=I, \qquad A^1=A, \qquad A^{n+1}=A^nA.$$

Si $$D$$ est diagonale, alors :

$$D=\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix} \Rightarrow D^n=\begin{pmatrix}a^n&0&0\\0&b^n&0\\0&0&c^n\end{pmatrix}.$$

Diagonalisation

Une matrice $$A$$ est diagonalisable s il existe une matrice inversible $$P$$ et une matrice diagonale $$D$$ telles que :

$$A=PDP^{-1}.$$

On obtient alors directement :

$$A^n=PD^nP^{-1}.$$

Au niveau Terminale, on retient surtout l idee : une puissance de matrice devient facile quand on la ramene a une matrice diagonale.

Systemes lineaires et methode matricielle

Les matrices donnent une ecriture tres compacte des systemes lineaires et une methode propre de resolution quand l inverse existe.

Ecriture matricielle

Un systeme lineaire a $$n$$ inconnues peut s ecrire sous la forme :

$$AX=B,$$

ou $$A$$ est la matrice des coefficients, $$X$$ la matrice colonne des inconnues, et $$B$$ la matrice colonne des seconds membres.

Resolution par l inverse

Si $$A$$ est inversible, alors le systeme $$AX=B$$ admet pour solution :

$$X=A^{-1}B.$$

La demonstration tient en une ligne : on multiplie a gauche par $$A^{-1}$$.

Limite de la methode

La methode precedente ne fonctionne que si $$A$$ est inversible.

Si $$\det(A)=0$$ dans le cas d une matrice d ordre 2, on ne peut pas conclure par $$X=A^{-1}B$$ : il faut alors revenir au systeme lui-meme.

Suites de matrices

Le PDF va plus loin avec les suites de matrices colonnes. Elles servent a etudier des evolutions pas a pas et se relient naturellement aux puissances de matrices.

Suite geometrique de matrices

Si $$U_0$$ est une matrice colonne et si $$U_{n+1}=AU_n$$ pour tout $$n,$$ alors :

$$U_n=A^nU_0.$$

La suite se traite donc comme une suite geometrique, mais avec une matrice a la place d un nombre.

Recurrence affine

Si $$U_{n+1}=AU_n+B,$$ on cherche souvent un point fixe $$X$$ verifiant :

$$X=AX+B.$$

En posant $$V_n=U_n-X,$$ on obtient :

$$V_{n+1}=AV_n, \qquad donc \qquad V_n=A^nV_0.$$

Finalement :

$$U_n=A^n(U_0-X)+X.$$

Pourquoi diagonaliser dans une recurrence

Quand on veut une formule explicite de $$U_n,$$ la difficulte est souvent de calculer $$A^n.$$ Si une diagonalisation $$A=PDP^{-1}$$ est donnee, alors :

$$U_n=PD^nP^{-1}U_0,$$

ou bien, dans le cas affine, on remplace simplement $$A^n$$ dans la formule precedente.

Transformations geometriques

Certaines transformations du plan se codent exactement par des matrices. C est un bon moyen de faire le lien entre algebra et geometrie.

Rotation et homothetie

Dans un repere orthonorme, la rotation de centre $$O$$ et d angle $$\theta$$ est codee par :

$$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.$$

L homothetie de centre $$O$$ et de rapport $$k$$ est codee par :

$$\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}.$$

Symetries usuelles

La symetrie par rapport a l axe des abscisses est codee par :

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

La symetrie par rapport a l axe des ordonnees est codee par :

$$\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

Lecture geometrique

Une transformation lineaire du plan se lit comme un produit matrice-vecteur. Composer deux transformations revient donc a multiplier leurs matrices.

C est exactement la meme logique que pour les systemes ou les suites : les matrices servent a organiser une action.

QCM du chapitre

Question 1. Une matrice carree est une matrice :
- A. qui a autant de lignes que de colonnes
- B. qui ne contient que des 0 et des 1
- C. toujours inversible
- D. toujours diagonale
Réponse. A. qui a autant de lignes que de colonnes

Explication. C est la definition meme d une matrice carree.
Question 2. Si A et B sont de meme taille, comment calcule-t-on A + B ?
- A. en multipliant les coefficients
- B. coefficient par coefficient
- C. en inversant A puis B
- D. ce n est jamais possible
Réponse. B. coefficient par coefficient

Explication. L addition de deux matrices de meme dimension se fait coefficient par coefficient.
Question 3. Le coefficient (i,j) de AB se calcule a partir :
- A. de la colonne i de A et de la ligne j de B
- B. de la ligne i de A et de la colonne j de B
- C. des diagonales de A et B seulement
- D. des determinants de A et B
Réponse. B. de la ligne i de A et de la colonne j de B

Explication. On croise la ligne i de A avec la colonne j de B.
Question 4. La transposee d une matrice A=(a_{ij}) est :
- A. $A^{-1}$
- B. $A^2$
- C. la matrice $(a_{ji})$
- D. la matrice obtenue en changeant tous les signes
Réponse. C. la matrice $(a_{ji})$

Explication. La transposee s obtient en echangeant les lignes et les colonnes.
Question 5. Pour A = ((a,b),(c,d)), la matrice est inversible si :
- A. a+d ne vaut pas 0
- B. ad-bc ne vaut pas 0
- C. b=c
- D. a et d sont positifs
Réponse. B. ad-bc ne vaut pas 0

Explication. Le critere d inversibilite d une matrice 2x2 est det(A)=ad-bc non nul.
Question 6. Si D est diagonale, alors D^n :
- A. s obtient en elevant tous les coefficients a la puissance n
- B. garde seulement la diagonale elevee a la puissance n
- C. vaut toujours I
- D. n existe jamais
Réponse. B. garde seulement la diagonale elevee a la puissance n

Explication. Les coefficients hors diagonale restent nuls.
Question 7. Si AX = B et si A est inversible, alors :
- A. X = AB
- B. X = BA^{-1}
- C. X = A^{-1}B
- D. X = A + B
Réponse. C. X = A^{-1}B

Explication. On multiplie l equation a gauche par A^{-1}.
Question 8. Si U_{n+1}=AU_n, alors :
- A. $U_n=A+U_0$
- B. $U_n=A^nU_0$
- C. $U_n=U_0A^n$
- D. $U_n=nAU_0$
Réponse. B. $U_n=A^nU_0$

Explication. C est la formule de base d une suite geometrique de matrices colonnes.

Exercices guidés

Exercice 1. Resoudre un systeme avec une matrice inverse

Resoudre le systeme $$\left\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x+y=7\end{array}\right.$$ par la methode matricielle.

\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}

Étape 1. Ecrire le systeme sous la forme AX = B.

On pose $$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&1\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}.$$
```
AX=B
```
Étape 2. Verifier que A est inversible.

On calcule $$\det(A)=1\times1-2\times3=-5\ne 0.$$ Donc $$A$$ est inversible.
```
\det(A)=-5
```
Étape 3. Conclure.

Comme $$X=A^{-1}B,$$ on trouve $$x=\frac95$$ et $$y=\frac85.$$
```
x=\frac95,\quad y=\frac85
```

Exercice 2. Etudier une suite de matrices affines

On definit $$U_0=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$$ et $$U_{n+1}=AU_n+B$$ avec $$A=\frac14\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}$$ et $$B=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.$$ Trouver le point fixe $$X$$ verifiant $$X=AX+B.$$

X=AX+B

Étape 1. Poser X = (x,y)^T et identifier les deux equations.

On pose $$X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$$ L equation $$X=AX+B$$ donne :
$$x=\frac14(2x+3y)+2,\qquad y=\frac14 y + 3.$$
```
x=\frac14(2x+3y)+2,\quad y=\frac14y+3
```
Étape 2. Commencer par la deuxieme equation.

De $$y=\frac14 y + 3$$ on deduit $$\frac34 y = 3,$$ donc $$y=4.$$
```
y=4
```
Étape 3. Remplacer dans la premiere equation.

On obtient $$x=\frac14(2x+12)+2,$$ donc $$4x=2x+20,$$ puis $$x=10.$$
```
x=10
```
Étape 4. Conclure.

Le point fixe est donc $$X=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}.$$ C est la valeur vers laquelle la suite peut tendre dans cet exemple.
```
X=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}
```

Exercice 3. Comparer deux produits matriciels

Soient $$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$$ et $$B=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}$$. Calculer $$AB$$ puis $$BA$$.

A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}

Étape 1. Verifier que les produits ont un sens.

Les matrices $$A$$ et $$B$$ sont de taille $$2\times2,$$ donc $$AB$$ et $$BA$$ sont bien definis.
Étape 2. Calculer $$AB$$.

On obtient $$AB=\begin{pmatrix}8&2\\3&1\end{pmatrix}. $$
```
AB=\begin{pmatrix}8&2\\3&1\end{pmatrix}
```
Étape 3. Calculer $$BA$$ et comparer.

On trouve $$BA=\begin{pmatrix}2&4\\3&7\end{pmatrix}.$$ Donc $$AB\ne BA.$$
```
BA=\begin{pmatrix}2&4\\3&7\end{pmatrix}
```

Exercice 4. Calculer l inverse d une matrice d ordre 2

Soit $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}.$$ Montrer que $$A$$ est inversible puis calculer $$A^{-1}.$$

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

Étape 1. Calculer le determinant.

On a $$\det(A)=2\times1-1\times1=1\ne0.$$ Donc $$A$$ est inversible.
```
\det(A)=1
```
Étape 2. Appliquer la formule de l inverse.

Pour une matrice $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},$$ on a $$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. $$
Étape 3. Conclure.

Ici on obtient $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}. $$
```
A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}
```

Exercice 5. Etudier une recurrence affine avec un point fixe

On definit $$U_0=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$$ et $$U_{n+1}=AU_n+B$$ avec $$A=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac13\end{pmatrix}$$ et $$B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.$$ Determiner le point fixe $$X$$ verifiant $$X=AX+B,$$ puis donner une expression de $$U_n$$.

U_{n+1}=AU_n+B,\quad X=AX+B

Étape 1. Chercher le point fixe.

En posant $$X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},$$ l equation $$X=AX+B$$ donne $$x=\frac12x+1$$ et $$y=\frac13y+2.$$ On trouve $$x=2$$ et $$y=3.$$
```
X=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}
```
Étape 2. Poser $$V_n=U_n-X$$.

Alors $$V_{n+1}=U_{n+1}-X=(AU_n+B)-(AX+B)=A(U_n-X)=AV_n.$$ Donc $$V_n=A^nV_0.$$
Étape 3. Calculer $$A^n$$ et conclure.

Comme $$A$$ est diagonale, $$A^n=\begin{pmatrix}(\frac12)^n&0\\0&(\frac13)^n\end{pmatrix}.$$ Avec $$V_0=\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix},$$ on obtient $$U_n=\begin{pmatrix}2+3(\frac12)^n\\3-3(\frac13)^n\end{pmatrix}. $$
```
U_n=\begin{pmatrix}2+3(\frac12)^n\\3-3(\frac13)^n\end{pmatrix}
```