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Nombres complexes et trigonometrie

En Premiere, on a deja travaille les angles mesures en radians, le cercle trigonometrique, les fonctions sinus et cosinus, ainsi que leurs variations et leurs valeurs remarquables. Ces rappels servent de base pour construire les formules de calcul en Terminale.

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Rappels de Premiere

En Premiere, on a deja travaille les angles mesures en radians, le cercle trigonometrique, les fonctions sinus et cosinus, ainsi que leurs variations et leurs valeurs remarquables. Ces rappels servent de base pour construire les formules de calcul en Terminale.

Cercle trigonometrique

Le cercle trigonometrique est le cercle de rayon 1, centre en O, muni d'un sens de parcours positif. A tout angle x mesure en radians, on associe un point du cercle et donc des valeurs cos(x) et sin(x).

On retient aussi les proprietes classiques : cos est pair, sin est impair, et les deux fonctions sont 2pi-periodiques.

Valeurs remarquables

Les valeurs a connaitre sont notamment :

  • cos(0) = 1, sin(0) = 0
  • cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1
  • cos(π) = -1, sin(π) = 0
  • cos(3π/2) = 0, sin(3π/2) = -1

Ces points servent souvent de verification rapide dans les exercices.

Lire un angle sur le cercle

Pour determiner cos et sin d'un angle, on repere d'abord son quadrant, puis on utilise les symetries du cercle trigonometrique. Le bon reflexe est de chercher d'abord le signe, puis la valeur absolue.

Exponentielle imaginaire

La notation e^{ix} permet de reunir cosinus et sinus dans un seul objet. C'est l'outil central qui relie trigonometrie et calcul complexe.

Exponentielle imaginaire

Pour tout reel x, on definit :

$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$

Cette notation est appelee forme exponentielle du point du cercle trigonometrique associe a x.

Trigonometrie
M eiθ θ cos(θ) sin(θ) Re Im O Cercle unite
Sur le cercle unite, le point $M$ d angle $\theta$ a pour affixe $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Les coordonnees de $M$ se lisent sur les projections horizontale et verticale.

Module et argument

Le nombre complexe $e^{ix}$ a pour module 1. Son argument est x, a 2pi pres. En particulier, tout nombre complexe non nul de module 1 peut s'ecrire sous la forme $e^{ix}$.

Relation fonctionnelle

On admet ou on exploite la relation :

$$e^{i(x+y)} = e^{ix}e^{iy}$$

Cette relation sera la cle pour retrouver les formules d'addition et les formules de duplication.

Exemple de lecture

Si $x = pi/3$, alors :

$$e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

On lit donc a la fois la partie reelle, la partie imaginaire, le module et l'argument.

Formules d Euler

A partir de $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ et de $$e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x),$$ on obtient :

$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Ces deux formules permettent de repasser du langage exponentiel au langage trigonometrique.

Formules d'addition et de duplication

Les formules trigonometriques fondamentales se deduisent de la multiplication de deux nombres de forme cos + i sin.

Formules d'addition

Pour tous reels a et b :

$$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$

$$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$

Idee de demonstration

On ecrit :

$$e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$$

En developpant :

$$(\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$$

et en identifiant la partie reelle et la partie imaginaire avec $\cos(a+b)+i\sin(a+b)$, on obtient les deux formules.

Formules de difference

En remplacant b par -b, on obtient :

$$\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$

$$\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$

Formules de duplication

En prenant b=a dans les formules d'addition :

$$\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)=2\cos^2(a)-1=1-2\sin^2(a)$$

$$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$

Utiliser une formule d'addition

La methode standard est la suivante : on cherche d'abord une forme qui ressemble a $a+b$ ou $a-b$, puis on remplace par les formules connues, puis on simplifie. Pour une valeur exacte, on garde les radicaux et on evite la decimalisation.

Valeurs exactes avec une somme d angles

Pour calculer $$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)$$ et $$\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right),$$ on ecrit :

$$\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}.$$

On applique alors les formules d addition :

$$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

$$\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Valeurs exactes avec une duplication

Pour calculer $$\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$$, on part de :

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)-1.$$

Comme $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2},$$ on obtient :

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt2}{4}.$$

Comme $$\frac{\pi}{8}$$ est dans le premier quadrant :

$$\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

Puis :

$$\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Forme exponentielle et calculs adaptes

La forme exponentielle permet de calculer plus vite les produits, les puissances et les transformations d'expressions trigonometriques.

Forme exponentielle

Tout nombre complexe non nul de module r peut s'ecrire :

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$$

On appelle r le module et theta un argument de z.

Produit et quotient

Si $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$, alors :

$$z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

et si $z_2 \neq 0$ :

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$

Exemple de calcul

Calculer $(\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$ revient directement a ecrire :

$$e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}$$

Donc la multiplication des formes trigonometriques traduit simplement l'addition des arguments.

Choisir la bonne forme

On choisit la forme algebrique pour additionner ou comparer des parties reelles et imaginaires. On choisit la forme exponentielle pour multiplier, elever a une puissance ou lire des arguments.

Moivre et applications

La formule de Moivre permet de calculer rapidement des puissances et de retrouver des identites trigonometriques. C'est le point d'arrivee naturel du chapitre.

Formule de Moivre

Pour tout entier n et tout reel theta :

$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$$

Cette formule est centrale pour les calculs de puissances de nombres complexes.

Demonstration par recurrence

La formule est vraie pour n=1. Si elle est vraie au rang n, alors :

$$\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n+1} = \left(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$$

En utilisant les formules d'addition, on obtient bien $\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta)$.

Calculer une puissance

On ecrit d'abord le nombre sous la forme $re^{i\theta}$, puis :

$$z^n = r^n e^{in\theta}$$

Ensuite, on revient si besoin a la forme algebrique ou trigonometrique.

Exemple

Si $z=\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)$, alors :

$$z^3 = \cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=i$$

Cela donne une puissance exacte sans calcul complexe intermediaire.

Formules d'Euler et linearisation

Les formules d'Euler permettent d'exprimer cosinus et sinus en fonction de l'exponentielle imaginaire. Elles sont l'outil standard pour lineariser des expressions du type $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$.

Formules d'Euler

Pour tout reel $\theta$ :

$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$

Demonstration : On a $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$. La somme donne $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$, la difference $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$.

Linearisation de $\cos^n$ et $\sin^n$

Pour lineariser $\cos^n\theta$ (exprimer comme combinaison de $\cos(k\theta)$), on utilise les formules d'Euler :

  1. On ecrit $\cos^n\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^n$.
  2. On developpe par la formule du binome.
  3. On regroupe les termes conjugues : $e^{ik\theta}+e^{-ik\theta}=2\cos(k\theta)$.

De meme pour $\sin^n\theta$ avec $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Exemple : lineariser $\cos^3\theta$

$$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\left(e^{3i\theta}+3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}+e^{-3i\theta}\right)$$

$$= \frac{1}{8}\left(2\cos(3\theta)+6\cos\theta\right) = \frac{1}{4}\cos(3\theta)+\frac{3}{4}\cos\theta.$$

On peut alors calculer $\int\cos^3\theta\,d\theta$ facilement.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Quelle est la forme de e^{ix} ?

    • A. cos(x)+i sin(x)
    • B. sin(x)+i cos(x)
    • C. cos(x)-i sin(x)
    • D. 1+i x

    Réponse. A. cos(x)+i sin(x)

    Explication. Par definition, e^{ix} = cos(x) + i sin(x).

  2. Question 2. Quelle formule est correcte ?

    • A. cos(a+b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
    • B. cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    • C. sin(a+b)=sin(a)sin(b)-cos(a)cos(b)
    • D. sin(a+b)=cos(a+b)

    Réponse. B. cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

    Explication. C'est la formule d'addition fondamentale du cosinus.

  3. Question 3. Que vaut cos(2a) ?

    • A. cos^2(a)+sin^2(a)
    • B. 2cos(a)sin(a)
    • C. cos^2(a)-sin^2(a)
    • D. 1+2sin^2(a)

    Réponse. C. cos^2(a)-sin^2(a)

    Explication. On obtient cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a), et aussi 2cos^2(a)-1 ou 1-2sin^2(a).

  4. Question 4. Si z = r e^{i theta}, alors z^n vaut :

    • A. r e^{i n theta}
    • B. r^n e^{i theta}
    • C. r^n e^{i n theta}
    • D. (r+n)e^{i theta}

    Réponse. C. r^n e^{i n theta}

    Explication. On eleve le module a la puissance n et on multiplie l'argument par n.

  5. Question 5. La formule de Moivre permet surtout de :

    • A. deriver des fonctions
    • B. calculer des puissances de nombres complexes
    • C. factoriser uniquement des polynomes
    • D. trouver des limites de suites

    Réponse. B. calculer des puissances de nombres complexes

    Explication. Elle est faite pour les puissances de cos(theta)+i sin(theta).

  6. Question 6. Quel choix est le plus adapte pour multiplier deux nombres complexes de module 1 ?

    • A. forme algebrique
    • B. forme exponentielle
    • C. forme decimale
    • D. forme polaire avec module nul

    Réponse. B. forme exponentielle

    Explication. La forme exponentielle transforme le produit en addition des arguments.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une valeur exacte avec Moivre

Calculer $\left(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)\right)^4$ puis en deduire sa forme algebrique.
\left(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)\right)^4

  1. Étape 1. Appliquer directement Moivre.

    Par la formule de Moivre, on a $$\left(\cos(\pi/6)+i\sin(\pi/6)\right)^4 = \cos(4\pi/6)+i\sin(4\pi/6).$$

  2. Étape 2. Simplifier l'angle.

    On obtient $$\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3).$$

  3. Étape 3. Lire les valeurs remarquables.

    Comme $\cos(2\pi/3)=-1/2$ et $\sin(2\pi/3)=\sqrt{3}/2$, la forme algebrique est $$-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Exercice 2. Transformer une somme trigonometrique

Montrer que $\cos(a+b)$ et $\sin(a+b)$ se deduisent de $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}$.
e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib}

  1. Étape 1. Ecrire chaque terme sous la forme cos + i sin.

    On ecrit $$e^{i(a+b)} = \cos(a+b)+i\sin(a+b)$$ et $$e^{ia}e^{ib} = (\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b).$$

  2. Étape 2. Developper le produit.

    Le produit donne $$\cos a\cos b-\sin a\sin b + i(\sin a\cos b+\cos a\sin b).$$

  3. Étape 3. Identifier les parties reelle et imaginaire.

    On identifie alors $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$ et $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

Exercice 3. Calculer des valeurs exactes avec une formule d addition

Calculer les valeurs exactes de $$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\quad\text{et}\quad \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right).$$
\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right),\quad \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)

  1. Étape 1. Ecrire l angle comme une somme.

    On remarque que $$\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac\pi4+\dfrac\pi6.$$

  2. Étape 2. Appliquer les formules d addition.

    On utilise $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$ et $$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

  3. Étape 3. Remplacer par les valeurs remarquables.

    On trouve $$\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$ et $$\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. $$
    \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\quad \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}

Exercice 4. Utiliser la forme exponentielle pour une puissance

Ecrire $$z=1+i$$ sous forme exponentielle, puis calculer $$z^8.$$
z=1+i,\quad z^8

  1. Étape 1. Calculer le module et un argument.

    On a $$|z|=\sqrt2$$ et un argument de $$z$$ est $$\dfrac\pi4.$$ Donc $$z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}. $$
    z=\sqrt2\,e^{i\pi/4}

  2. Étape 2. Elever a la puissance 8.

    Alors $$z^8=(\sqrt2)^8 e^{i8\pi/4}=2^4 e^{i2\pi}. $$
    z^8=16e^{i2\pi}

  3. Étape 3. Conclure.

    Comme $$e^{i2\pi}=1,$$ on obtient $$z^8=16.$$
    z^8=16

Exercice 5. Retrouver la formule de l angle triple

A l aide de la formule de Moivre pour $$n=3$$, montrer que $$\cos(3a)=4\cos^3(a)-3\cos(a).$$
(\cos a+i\sin a)^3

  1. Étape 1. Appliquer Moivre.

    La formule de Moivre donne $$\left(\cos a+i\sin a\right)^3=\cos(3a)+i\sin(3a).$$

  2. Étape 2. Developper le cube.

    En developpant, la partie reelle vaut $$\cos^3(a)-3\cos(a)\sin^2(a).$$

  3. Étape 3. Eliminer $$\sin^2(a)$$.

    Comme $$\sin^2(a)=1-\cos^2(a),$$ on obtient $$\cos(3a)=\cos^3(a)-3\cos(a)(1-\cos^2(a))=4\cos^3(a)-3\cos(a).$$
    \cos(3a)=4\cos^3(a)-3\cos(a)