Nombres complexes - point de vue algebrique

L'ensemble des nombres complexes est note $\mathbb{C}$. On y definit l'addition, la multiplication et la soustraction en developpant normalement puis en remplacant $i^2$ par $-1$.

Deux complexes sont egaux si et seulement si leurs parties reelles et imaginaires sont egales.

Autrement dit, si $$a+ib=c+id,$$ alors $$a=c\quad\text{et}\quad b=d.$$

Un complexe $$z=a+ib$$ est nul si et seulement si :

$$a=0 \quad\text{et}\quad b=0.$$

Autrement dit, on annule separement la partie reelle et la partie imaginaire. C est le reflexe de base dans les equations complexes ecrites sous forme algebrique.

Pour tous complexes $z$ et $w$ :

• $$\overline{z+w}=\overline z+\overline w$$
• $$\overline{zw}=\overline z\,\overline w$$
• $$\overline{z^n}=(\overline z)^n$$ pour tout entier naturel $n$
• $$z\overline z=a^2+b^2$$ si $z=a+ib$

Ces proprietes se demontrent en developpant et en utilisant $i^2=-1$.

Soit $z \in \mathbb{C}$. On a les equivalences :

• $z \in \mathbb{R}$ si et seulement si $\overline z = z$.
• $z$ est imaginaire pur (i.e. $z = ib$ avec $b \in \mathbb{R}$) si et seulement si $\overline z = -z$.

Demonstrations : Si $z=a+ib$, alors $\overline z=a-ib$.

• $\overline z=z$ \iff $a-ib=a+ib$ \iff $b=0$ \iff $z \in \mathbb{R}$.
• $\overline z=-z$ \iff $a-ib=-a-ib$ \iff $a=0$ \iff $z$ est imaginaire pur.

Ces caracterisations sont tres utiles pour determiner la nature d un complexe sans calculer explicitement ses parties reelles et imaginaires.

Si $$z=a+ib \neq 0,$$ alors son inverse s'obtient en multipliant en haut et en bas par le conjugue :

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+ib}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

On obtient ainsi une forme algebrique avec une partie reelle et une partie imaginaire explicites.

Pour tous complexes $$z$$ et $$w,$$ on a :

$$\overline{z+w}=\overline z+\overline w, \qquad \overline{zw}=\overline z\,\overline w.$$

Si $$z\ne0,$$ alors :

$$\overline{\frac1z}=\frac1{\overline z} \qquad \text{et} \qquad \overline{z^n}=\left(\overline z\right)^n.$$

Ces relations sont tres utiles pour simplifier un calcul ou verifier qu un resultat est reel.

Si $$ax^2+bx+c=0$$ avec $a \neq 0$ et $$\Delta=b^2-4ac<0,$$ il n'y a pas de solution reelle, mais il y a deux solutions complexes conjuguees :

$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$

Les solutions viennent toujours par paire conjuguee quand les coefficients sont reels.

Une equation faisant intervenir $z$ et $\overline z$ se traite souvent en ecrivant $$z=x+iy,$$ avec $x$ et $y$ reels, puis en identifiant les parties reelles et imaginaires.

Cette technique permet de ramener le probleme a un systeme de deux equations reelles.

Les puissances de $i$ suivent un cycle de periode 4 :

$$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1.$$

Donc toute puissance de $i$ se reduit immediatement en fonction du reste de la division par 4.