Nombres complexes - point de vue geometrique

Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :

$$z_B-z_A.$$

Cette regle rend les calculs de geometrie plus compacts.

Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour affixe :

$$z_I = \frac{z_A+z_B}{2}.$$

Exemple : Si $z_A=2+i$ et $z_B=-4+3i$, alors $z_I=\frac{(2+i)+(-4+3i)}{2}=-1+2i$.

Si $M$ a pour affixe $z=a+ib$, alors le point $M'$ d'affixe $\overline z = a-ib$ est le symetrique de $M$ par rapport a l'axe des reels (axe des abscisses).

Plus generalement, le symetrique de $M$ par rapport a un point $A$ d'affixe $z_A$ a pour affixe $2z_A-z$.

Si $$A$$ et $$B$$ ont pour affixes $$z_A$$ et $$z_B,$$ alors le milieu $$I$$ de $$[AB]$$ a pour affixe :

$$z_I=\frac{z_A+z_B}{2}.$$

De plus, pour montrer qu un quadrilatere est un parallelogramme, on peut comparer les affixes de deux vecteurs opposes : $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{DC}$$ ont respectivement pour affixes $$z_B-z_A$$ et $$z_C-z_D.$$

Pour tout complexe $z$, on a :

$$|z|^2=z\overline z.$$

Si $z=a+ib$, alors $$z\overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.$$

Pour tous complexes non nuls $z$ et $w$ :

• $$|zw|=|z|\,|w|$$
• $$\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$$
• $$|z^{-1}|=\frac{1}{|z|}$$

Ces resultats viennent de la relation $|z|^2=z\overline z$.

Si un point $$M$$ a pour affixe $$z=a+ib,$$ alors le point d affixe $$\overline z=a-ib$$ est le symetrique de $$M$$ par rapport a l axe reel.

On retient aussi :

$$|z^n|=|z|^n$$

pour tout entier naturel $$n.$$ Cette formule permet de passer tres vite d une ecriture algebrique a une information geometrique sur la distance a l origine.

Pour tous complexes $$z$$ et $$w,$$ on a :

$$|z+w|\le|z|+|w|.$$

Geometriquement, cela traduit le fait que, dans un triangle, la longueur d un cote ne depasse pas la somme des longueurs des deux autres. Cette inegalite est tres utile pour encadrer un module.

Si $z\neq 0$ et si $r=|z|$, alors on peut ecrire :

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta).$$

C'est la forme trigonometrie de $z$.

Elle se lit comme une decomposition en une norme $r$ et une direction $\theta$.

Si $z_A$ et $z_B$ sont non nuls, alors le quotient $$\frac{z_B}{z_A}$$ code a la fois un rapport de distances et un angle.

Plus precisement :

• $$\left|\frac{z_B}{z_A}\right|=\frac{|z_B|}{|z_A|}$$
• un argument de $\frac{z_B}{z_A}$ est la difference des arguments

C'est un outil tres efficace pour les preuves geometriques.

Les racines n-iemes de l'unite sont les solutions de :

$$z^n=1.$$

Leurs affixes sont reparties regulierement sur le cercle de rayon 1, sous forme d'un polygone regulier.

Les racines n-iemes de l'unite sont :

$$\omega_k=e^{2i\pi k/n}=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right),$$

pour $$k=0,1,\dots,n-1.$$

La multiplication de l'affixe d'un vecteur par un complexe $a = ke^{i\theta}$ réalise simultanément :

• une rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine ;
• une homothétie de rapport $k$ centrée à l'origine.

En particulier :

• Multiplier par $i$ revient à une rotation d'angle $\pi/2$.
• Multiplier par $e^{i\theta}$ est une rotation pure d'angle $\theta$ (module 1).
• Multiplier par un réel $k > 0$ est une homothétie de rapport $k$.