Terminale specialite

Primitives

En Premiere, on a appris a dériver des fonctions usuelles. En Terminale, on inverse cette opération : a partir d'une dérivée connue, on cherche une fonction dont elle est issue.

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Rappels et notion de primitive

En Premiere, on a appris a dériver des fonctions usuelles. En Terminale, on inverse cette opération : a partir d'une dérivée connue, on cherche une fonction dont elle est issue.

Primitive d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si :

$$F'(x)=f(x)$$

Dire que l'on cherche une primitive, c'est donc remonter de la dérivée vers la fonction.

F'(x)=f(x)

Deux primitives différent d'une constante

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction continue $f$ sur un intervalle $I$, alors il existe une constante réelle $C$ telle que :

$$G(x)=F(x)+C$$

Autrement dit, toutes les primitives d'une même fonction se deduisent l une de l autre par ajout d'une constante.

G(x)=F(x)+C

Démonstration

Posons $h(x)=G(x)-F(x)$. Alors :

$$h'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$$

Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante. Donc $h(x)=C$ et ainsi :

$$G(x)=F(x)+C$$

Toute fonction continue admet des primitives

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, alors $f$ admet une primitive sur $I$.

Cette propriété est admise en Terminale. Elle est démontrée dans le chapitre sur l'intégration : la fonction intégrale $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$.

Conséquence : Si $f$ n'est pas continue (par exemple si elle a un saut), elle peut ne pas admettre de primitive.

Primitive verifiant une condition initiale

Si $f$ est continue sur $I$, toute primitive particuliere se deduit d'une primitive quelconque par ajout d'une constante. On peut donc imposer une condition du type $F(x_0)=y_0$.

Exemple : une primitive de $2x+1$ est $x^2+x+C$. Si on veut en plus $F(0)=3$, alors $C=3$ et :

$$F(x)=x^2+x+3$$

Primitives usuelles

Comme pour les dérivées, il faut connaitre quelques primitives de reference. Elles servent de base a presque tous les calculs de Terminale.

Tableau des primitives de reference

Le tableau suivant regroupe les primitives usuelles a connaitre :

Fonction $f(x)$Une primitive $F(x)$Domaine
$x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}$, $n \ne -1$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$intervalle adapte
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x|$$\mathbb{R}^*$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$2\sqrt{x}$$]0,+\infty[$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$
$\cos(x)$$\sin(x)$$\mathbb{R}$
$\sin(x)$$-\cos(x)$$\mathbb{R}$

Linearite : une primitive de $\alpha f + \beta g$ est $\alpha F + \beta G$.

Méthode : trouver une primitive

1. Identifier le type de fonction : polynome, exponentielle, inverse, trigo...

2. Utiliser le tableau des primitives usuelles.

3. Exploiter la linearite si plusieurs termes sont additionnes.

4. Ne pas oublier la constante $+C$.

5. Vérifier rapidement en derivant.

Exemples classiques

Exemple 1 : une primitive de $3x^2+2x-5$ est :

$$x^3+x^2-5x+C$$

Exemple 2 : une primitive de $e^x+\cos(x)$ est :

$$e^x+\sin(x)+C$$

Exemple 3 : sur $]0,+\infty[$, une primitive de $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est :

$$2\ln(x)+2\sqrt{x}+C$$

Erreurs frequentes

Les erreurs classiques sont :

  • oublier la constante $+C$ ;
  • ecrire $\ln(x)$ a la place de $\ln|x|$ pour une primitive de $1/x$ ;
  • oublier le signe dans la primitive de $\sin(x)$ ;
  • ne pas vérifier le domaine de définition.

Primitives de formes composées

Quand une fonction est composée, on cherche a reconnaitre la dérivée d'une fonction intérieure. C'est la situation typique des primitives de la forme $u'(x)f(u(x))$.

Tableau des formes composées

Si $F$ est une primitive de $f$ et si $u$ est dérivable, alors une primitive de $u'(x)f(u(x))$ est $F(u(x))$.

Forme a reconnaitrePrimitive correspondanteCondition
$u'(x)u(x)^n$$\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1}$$n \ne -1$
$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$$\ln|u(x)|$$u(x) \ne 0$
$u'(x)e^{u(x)}$$e^{u(x)}$toujours
$u'(x)\cos(u(x))$$\sin(u(x))$toujours
$u'(x)\sin(u(x))$$-\cos(u(x))$toujours

Pourquoi cela fonctionne

Si $F'=f$, alors la formule de la dérivée d'une composée donne :

$$\big(F(u(x))\big)' = u'(x)F'(u(x)) = u'(x)f(u(x))$$

On remonte donc naturellement de $u'(x)f(u(x))$ vers $F(u(x))$.

Méthode : reconnaitre la bonne fonction intérieure

1. Chercher une expression $u(x)$ répétée dans la formule.

2. Dériver cette expression.

3. Vérifier que sa dérivée apparait comme facteur, eventuellement a une constante multiplicative près.

4. Appliquer la formule du tableau.

Exemples détaillés

Exemple 1 : pour $(2x+1)e^{x^2+x}$, on pose $u=x^2+x$, donc $u'=2x+1$. Une primitive est :

$$e^{x^2+x}+C$$

Exemple 2 : pour $\dfrac{3x^2}{x^3+1}$, on pose $u=x^3+1$, donc $u'=3x^2$. Une primitive est :

$$\ln|x^3+1|+C$$

Exemple 3 : pour $\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$, on pose $u=x^2+1$, donc $u'=2x$. Une primitive est :

$$-\dfrac{1}{x^2+1}+C$$

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $F(x)=x^3-2x$, alors $F'(x)=$

    • A. $3x^2$
    • B. $3x^2-2$
    • C. $x^3-2x$
    • D. $3x-2$

    Réponse. B. $3x^2-2$

    Explication. On dériver terme a terme : $(x^3)'=3x^2$ et $(-2x)'=-2$.

  2. Question 2. Une primitive de $e^x+\sin(x)$ est :

    • A. $e^x+\cos(x)+C$
    • B. $e^x-\cos(x)+C$
    • C. $e^{x+1}+C$
    • D. $e^x+\sin(x)+C$

    Réponse. B. $e^x-\cos(x)+C$

    Explication. La primitive de $e^x$ est $e^x$ et la primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$.

  3. Question 3. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle :

    • A. sont toujours egales
    • B. différent d'une constante
    • C. différent d'un facteur $x$
    • D. ont des dérivées différentes

    Réponse. B. différent d'une constante

    Explication. Leur différence a une dérivée nulle, donc est constante.

  4. Question 4. Une primitive de $\dfrac{3x^2}{x^3+1}$ est :

    • A. $\ln|x^3+1|+C$
    • B. $\dfrac{1}{x^3+1}+C$
    • C. $x^3+1+C$
    • D. $-\ln|x^3+1|+C$

    Réponse. A. $\ln|x^3+1|+C$

    Explication. On reconnait la forme $u'/u$ avec $u=x^3+1$.

  5. Question 5. Une primitive de $u'(x)e^{u(x)}$ est :

    • A. $u(x)e^{u(x)}$
    • B. $e^{u(x)}$
    • C. $u'(x)e^{u(x)}$
    • D. $\ln|u(x)|$

    Réponse. B. $e^{u(x)}$

    Explication. La dérivée de $e^{u(x)}$ est bien $u'(x)e^{u(x)}$.

Exercices guidés

Exercice 1. Primitive composée : $(2x+1)e^{x^2+x}$

Déterminer une primitive de $f(x)=(2x+1)e^{x^2+x}$.
f(x)=(2x+1)e^{x^2+x}

  1. Étape 1. Choisir une fonction intérieure $u(x)$.

    On pose $u(x)=x^2+x$. Alors $$u'(x)=2x+1.$$
    u(x)=x^2+x, \quad u'(x)=2x+1

  2. Étape 2. Reconnaitre la forme composée.

    La fonction s'écrit $$u'(x)e^{u(x)}.$$ Une primitive est donc $$F(x)=e^{u(x)}+C=e^{x^2+x}+C.$$
    F(x)=e^{x^2+x}+C

Exercice 2. Primitive de $\dfrac{3x^2}{x^3+1}$

Déterminer une primitive de $f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}$ sur un intervalle adapte.
f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3+1}

  1. Étape 1. Repérer le denominateur comme fonction intérieure.

    On pose $u(x)=x^3+1$. Alors $$u'(x)=3x^2.$$
    u(x)=x^3+1

  2. Étape 2. Appliquer la primitive de $u'/u$.

    On obtient directement : $$\int \frac{3x^2}{x^3+1}dx=\ln|x^3+1|+C.$$
    \ln|x^3+1|+C

Exercice 3. Primitive avec condition initiale

Trouver la primitive $F$ de $f(x)=2x+1$ telle que $F(0)=3$.
F'(x)=2x+1, \quad F(0)=3

  1. Étape 1. Trouver une primitive générale.

    Une primitive de $2x+1$ est $$F(x)=x^2+x+C.$$
    F(x)=x^2+x+C

  2. Étape 2. Utiliser la condition $F(0)=3$.

    On remplace $x$ par $0$ : $$F(0)=C=3.$$ La primitive demandee est donc $$F(x)=x^2+x+3.$$
    F(x)=x^2+x+3

À retenir