Probabilités — Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit avec certitude avant de la réaliser. L'ensemble de tous les résultats possibles s'appelle l'univers, noté Ω.

Exemple 1 : Lancer un dé à 6 faces. L'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemple 2 : Lancer une pièce de monnaie. L'univers est Ω = {Pile, Face}.

Un événement est un sous-ensemble de l'univers. Par exemple, "obtenir un nombre pair" est l'événement {2, 4, 6}.

Cas particuliers :
• L'événement certain est Ω lui-même (se réalise toujours).
• L'événement impossible est l'ensemble vide ∅ (ne se réalise jamais).
• Deux événements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas se réaliser simultanément).

La probabilité d'un événement A est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la "chance" que cet événement se produise. On la note $P(A)$.

Propriétés fondamentales :
• $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ où $\bar{A}$ est le complémentaire de A (l'événement contraire).
• Si A et B sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Dans le cas où tous les résultats sont équiprobables : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple : Lancer un dé. $P(\text{obtenir un 3}) = \frac{1}{6}$, $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

La probabilité conditionnelle de B sachant A (notée $P_A(B)$ ou $P(B|A)$) est la probabilité que B se réalise sachant que A s'est déjà réalisé :

$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \text{ où } P(A) \neq 0$$

Exemple : Dans une classe, 60% des élèves ont une calculatrice, et parmi ceux qui ont une calculatrice, 70% sont au club math. La probabilité qu'un élève pris au hasard soit au club math ET ait une calculatrice est $P(\text{calc et club}) = P(\text{calc}) \times P_{\text{calc}}(\text{club}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.

Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement :

$$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

De manière équivalente : $P_A(B) = P(B)$ et $P_B(A) = P(A)$.

Exemple 1 : Lancer deux dés distincts. L'événement "le premier dé donne un 6" est indépendant de l'événement "le deuxième dé donne un 6". La probabilité que les deux donnent 6 est $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Exemple 2 : Tirer une carte dans un jeu, la noter, la remettre, puis tirer une deuxième carte. Ces deux tirages sont indépendants.

Attention ! Deux événements incompatibles (qui ne peuvent pas se réaliser simultanément) ne sont JAMAIS indépendants.

On appelle succession d'épreuves indépendantes la répétition d'une même expérience aléatoire plusieurs fois, de manière indépendante. C'est-à-dire que le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres.

Condition essentielle : Les épreuves doivent être identiques (même univers, mêmes probabilités) et indépendantes (le résultat d'une épreuve ne change pas la distribution des probabilités pour les épreuves suivantes).

Exemples :
• Lancer un dé 5 fois de suite.
• Tirer une boule dans une urne 10 fois avec remise (sinon, les probabilités changeraient).
• Tester 100 ampoules de la même production pour vérifier leur durée de vie (si on considère que chaque ampoule est testée indépendamment).

On appelle variable de Bernoulli de paramètre $p$ la variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ (succès) avec probabilité $p$ et $0$ (échec) avec probabilité $1-p$.

Sa loi est : $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.

Espérance : $E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$.

Variance : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$.

La loi binomiale $B(n,p)$ s'obtient comme la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$.

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne peut avoir que deux résultats possibles :

• Un résultat appelé succès, de probabilité $p$
• L'autre résultat appelé échec, de probabilité $q = 1 - p$

Exemples classiques :
• Lancer une pièce : succès = "Pile" (p = 0,5), échec = "Face" (q = 0,5)
• Un tireur au but : succès = "marquer" (p dépend du tireur), échec = "rater"
• Tirer une carte : succès = "carte rouge" (p = 0,5), échec = "carte noire"
• Répondre au hasard à une question : succès = "bonne réponse", échec = "mauvaise réponse"
• Contrôle qualité : succès = "pièce conforme", échec = "pièce défectueuse"

Attention : Les noms "succès" et "échec" sont juste des labels. Un "succès" n'est pas forcément quelque chose de positif — c'est simplement le résultat qu'on choisit d'appeler succès dans le problème.

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition d'une même épreuve de Bernoulli (succès de probabilité $p$) $n$ fois de manière indépendante.

On note cela $B(n, p)$.

Les trois conditions essentielles sont :
1. Chaque épreuve a exactement deux résultats (succès/échec).
2. La probabilité de succès est la même à chaque épreuve (identiques).
3. Les épreuves sont indépendantes (le résultat d'une n'affecte pas les autres).

Exemples qui satisfont ces conditions :
• Lancer un dé 10 fois et compter le nombre de 6 : c'est $B(10, \frac{1}{6})$
• Tirer une boule dans une urne 5 fois AVEC REMISE : c'est un schéma de Bernoulli
• Répondre au hasard à 20 questions d'un QCM à 4 choix : c'est $B(20, \frac{1}{4})$

Exemple qui ne satisfait PAS ces conditions : Tirer des cartes dans un jeu SANS REMISE. Après avoir tiré une carte rouge, la probabilité de tirer une autre rouge change (les épreuves ne sont pas indépendantes).

Dans un schéma de Bernoulli $B(n, p)$, on définit la variable aléatoire X comme le nombre de succès obtenu après les $n$ épreuves.

X peut prendre les valeurs $0, 1, 2, \ldots, n$.

Exemples :
• Si on lance une pièce 5 fois, X = nombre de Pile peut être 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.
• Si on répond au hasard à 10 questions de QCM (4 choix), X = nombre de bonnes réponses peut être 0, 1, 2, ..., ou 10.
• Si un athlète fait 8 tentatives de saut, X = nombre de sauts réussis peut être entre 0 et 8.

L'objectif principal de ce chapitre est de calculer les probabilités $P(X = k)$ pour différentes valeurs de $k$, et de déterminer l'espérance (valeur moyenne) et la variance de X.

Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (prononcé "n parmi k") représente le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ éléments distincts, sans tenir compte de l'ordre.

On l'écrit aussi $C_n^k$ ou $C(n,k)$.

Intuition : Imaginez que vous avez $n$ positions, et vous devez en choisir $k$ pour placer un "S" (succès), le reste recevant un "E" (échec). $\binom{n}{k}$ compte le nombre de configurations distinctes.

Exemple concret : Vous avez 4 pièces. Combien de façons d'en choisir 2 pour les donner à un ami ?
• {pièce 1, pièce 2}
• {pièce 1, pièce 3}
• {pièce 1, pièce 4}
• {pièce 2, pièce 3}
• {pièce 2, pièce 4}
• {pièce 3, pièce 4}
Total : 6 façons. Donc $\binom{4}{2} = 6$.

Une variable aléatoire réelle $X$ sur un univers $\Omega$ est une fonction qui associe à chaque issue $\omega$ un nombre réel $X(\omega)$.

La loi de probabilité de $X$ est le tableau donnant, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, la probabilité $p_i = P(X = x_i)$.

Ces probabilités vérifient nécessairement : $$\sum_i p_i = 1$$

Exemple : Lancer un dé ; $X$ = face obtenue. Loi : $P(X = k) = \dfrac{1}{6}$ pour $k = 1, \ldots, 6$.

L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne pondérée par les probabilités :

$$E(X) = \sum_i x_i \cdot p_i$$

L'espérance représente la valeur moyenne obtenue si l'on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

Exemple : Pour un dé équilibré : $E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5$.

La variance de $X$ mesure la dispersion autour de l'espérance :

$$V(X) = \sum_i (x_i - E(X))^2 \cdot p_i$$

Formule de König-Huygens (plus pratique pour le calcul) :

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_i x_i^2 p_i - \left(\sum_i x_i p_i\right)^2$$

L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ ; il s'exprime dans la même unité que $X$.

On effectue $n$ épreuves de Bernoulli de probabilité $p$. La fréquence observée $F_n = X/n$ fluctue autour de $p$.

L'intervalle de fluctuation au seuil 95% est l'intervalle $I_n$ tel que :

$$P(F_n \in I_n) \geq 0{,}95$$

Pour $n \geq 25$ et $p$ pas trop proche de 0 ou 1, on utilise l'approximation :

$$I_n \approx \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}},\ p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

Utilisation : Si une fréquence observée est hors de l'intervalle de fluctuation, on remet en cause l'hypothèse $p$.

À partir d'une fréquence observée $f$ sur un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance au seuil 95% pour la probabilité inconnue $p$ est :

$$\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}},\ f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$

Cet intervalle contient la vraie valeur de $p$ avec une probabilité d'environ 95%.

Distinction : L'intervalle de fluctuation est centré sur le $p$ supposé connu ; l'intervalle de confiance est centré sur la fréquence observée $f$ pour estimer $p$ inconnu.