Terminale specialite

Suites et convergence

En Première, vous avez découvert deux familles essentielles de suites : les suites arithmétiques et géométriques. Ces objets mathématiques décrivent de nombreux phénomènes naturels et sont des fondations indispensables pour l'analyse. Nous allons les revisiter et introduire l'un des outils les plus...

Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.

Rappels de Première

En Première, vous avez découvert deux familles essentielles de suites : les suites arithmétiques et géométriques. Ces objets mathématiques décrivent de nombreux phénomènes naturels et sont des fondations indispensables pour l'analyse. Nous allons les revisiter et introduire l'un des outils les plus puissants des mathématiques : le raisonnement par récurrence.

Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante $r$. Autrement dit : $u_{n+1} = u_n + r$

Formule explicite : Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 + nr$

Somme des n premiers termes : La somme $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}$ vaut $S_n = \frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2} = \frac{n(2u_0 + (n-1)r)}{2}$

Exemple : Soit $(u_n)$ avec $u_0 = 3$ et $r = 2$. Alors $u_n = 3 + 2n$. Les premiers termes sont : $u_0 = 3, u_1 = 5, u_2 = 7, u_3 = 9, \ldots$. La somme des 5 premiers termes est $S_5 = \frac{5(3 + 11)}{2} = 35$.

Suite géométrique

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même constante $q$. Autrement dit : $u_{n+1} = q \cdot u_n$

Formule explicite : Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 \cdot q^n$

Somme des n premiers termes : Si $q \neq 1$, la somme $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}$ vaut $S_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Exemple : Soit $(u_n)$ avec $u_0 = 2$ et $q = 3$. Alors $u_n = 2 \cdot 3^n$. Les premiers termes sont : $u_0 = 2, u_1 = 6, u_2 = 18, u_3 = 54, \ldots$. La somme des 4 premiers termes est $S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 80$.

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une technique puissante pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels $n$. Il repose sur deux étapes :

  • Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour $n = 0$ (ou le plus petit entier considéré).
  • Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un entier $n$ quelconque (hypothèse de récurrence), et on montre qu'elle est alors vraie pour $n+1$.
  • Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.

La démonstration par récurrence fonctionne comme un domino : si le premier domino tombe (initialisation) et que chaque domino qui tombe entraîne le suivant (hérédité), alors tous les dominos tombent.

Exemple complet de récurrence

Propriété : Pour tout entier $n \geq 0$, on a $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ (somme des $n+1$ premiers entiers).

Démonstration par récurrence :

Initialisation : Pour $n = 0$, on a $\sum_{k=0}^{0} k = 0$ et $\frac{0(0+1)}{2} = 0$. La formule est vraie.

Hérédité : Supposons que pour un entier $n$, on a $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$. Montrons que $\sum_{k=0}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.

$\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = (n+1)\frac{n+2}{2}$

Conclusion : Par récurrence, la formule est vraie pour tous les entiers $n \geq 0$.

Convergence d'une suite

Lorsque $n$ devient très grand, les termes d'une suite peuvent se rapprocher d'une valeur particulière. C'est le concept fondamental de convergence, qui distingue les suites "sages" des suites "sauvages".

Suite convergente

On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ (notée $\lim_{n \to \infty} u_n = \ell$) si les termes se rapprochent arbitrairement de $\ell$ lorsque $n$ augmente.

Définition formelle : Pour tout $\varepsilon > 0$ (aussi petit soit-il), il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $|u_n - \ell| < \varepsilon$. Autrement dit, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite se trouvent dans l'intervalle $(\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon)$.

Intuition graphique : En traçant les points $(n, u_n)$, une suite convergente vers $\ell$ "s'écrase" progressivement vers la droite horizontale $y = \ell$.

Exemple : La suite $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers $0$. Les termes sont $1, 0.5, 0.333\ldots, 0.25, \ldots$ et se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre.

Suite divergente

Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Attention : une suite divergente n'admet pas nécessairement de limite infinie. Par exemple, la suite $u_n = (-1)^n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$ : elle n'admet ni limite finie ni limite infinie.

On dit qu'une suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (notée $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$) si les termes deviennent arbitrairement grands et positifs.

Définition formelle : Pour tout $M > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $u_n > M$.

De même, $(u_n)$ diverge vers $-\infty$ (notée $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$) si pour tout $m < 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on a $u_n < m$.

Exemple : La suite $u_n = n^2$ diverge vers $+\infty$. Les termes sont $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ et deviennent arbitrairement grands.

Unicité de la limite

Si une suite $(u_n)$ converge, sa limite est unique. Autrement dit, il ne peut y avoir deux valeurs différentes vers lesquelles la suite converge.

Intuition : Une suite ne peut pas "hésiter" entre deux limites différentes. Si elle converge, elle converge vers une et une seule valeur.

Conséquence : Si on peut calculer la limite d'une suite, on peut écrire sans ambiguïté $\lim_{n \to \infty} u_n = \ell$.

Théorème des gendarmes (ou encadrement)

Soit trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ telles que :

  • Pour tout $n$ suffisamment grand : $u_n \leq v_n \leq w_n$
  • $\lim_{n \to \infty} u_n = \ell$ et $\lim_{n \to \infty} w_n = \ell$

Alors $\lim_{n \to \infty} v_n = \ell$. La suite $(v_n)$ est "encadrée" entre deux suites qui convergent vers la même limite, donc elle est elle aussi contrainte de converger vers cette limite.

Application des gendarmes

On considère la suite $u_n = \frac{\cos(n)}{n}$. Trouvons sa limite.

Pour tout $n$, on sait que $|\cos(n)| \leq 1$, donc : $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos(n)}{n} \leq \frac{1}{n}$

Soit $u_n = \frac{\cos(n)}{n}$, $v_n = -\frac{1}{n}$ et $w_n = \frac{1}{n}$.

Clairement, $\lim_{n \to \infty} v_n = 0$ et $\lim_{n \to \infty} w_n = 0$.

Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$. Les oscillations du cosinus sont "écrasées" par la décroissance de $\frac{1}{n}$.

Théorème de comparaison pour les limites infinies

Soient deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que, à partir d'un certain rang, $u_n \leq v_n$.

  • Si $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to \infty} v_n = +\infty$.
  • Si $\lim_{n \to \infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$.

Démonstration du premier cas : Soit $M$ un réel. Comme $u_n \to +\infty$, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $u_n > M$. Comme $u_n \leq v_n$ à partir d'un rang $N_2$, pour tout $n \geq \max(N_1, N_2)$ on a $v_n \geq u_n > M$. Donc $v_n \to +\infty$.

Application : Puisque $n \to +\infty$ et $n^2 \geq n$, on en déduit $n^2 \to +\infty$.

Toute suite convergente est bornée

Si une suite $ (u_n) $ converge vers un reel $\ell,$ alors elle est bornée.

En effet, en prenant $\varepsilon=1,$ il existe un rang a partir duquel tous les termes verifient $|u_n-\ell|<1,$ donc $\ell-1

Ce résultat est très utile : une suite non bornée ne peut pas converger vers un reel.

Opérations sur les limites

Lorsque deux suites convergent, comment se comportent leur somme, leur produit, leur quotient ? Ces règles permettent de calculer les limites sans revenir à la définition formelle.

Somme, produit et quotient de limites

Si $\lim_{n \to \infty} u_n = \ell$ et $\lim_{n \to \infty} v_n = m$, alors :

  • Somme : $\lim_{n \to \infty} (u_n + v_n) = \ell + m$
  • Différence : $\lim_{n \to \infty} (u_n - v_n) = \ell - m$
  • Produit : $\lim_{n \to \infty} (u_n \cdot v_n) = \ell \cdot m$
  • Quotient : Si $m \neq 0$, alors $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{m}$
  • Puissance : Si $k$ est un entier naturel, $\lim_{n \to \infty} (u_n)^k = \ell^k$

Ces règles s'étendent aussi aux limites infinies, mais avec des exceptions : les formes indéterminées.

Formes indéterminées

Certaines opérations sur les limites ne donnent pas un résultat immédiat. Ce sont les formes indéterminées :

  • $\infty - \infty$ : la différence de deux infinis
  • $0 \times \infty$ : le produit de zéro et de l'infini
  • $\frac{\infty}{\infty}$ : le quotient de deux infinis
  • $\frac{0}{0}$ : le quotient de deux zéros

Face à une forme indéterminée, il est impossible de conclure directement. On doit transformer l'expression pour "lever" l'indétermination. Par exemple, $\lim_{n \to \infty} (n - n) = 0$ (forme $\infty - \infty$, mais résultat 0), tandis que $\lim_{n \to \infty} (n^2 - n) = +\infty$ (même forme, résultat différent !).

Lever une forme indéterminée

Quand on rencontre une forme indéterminée, la stratégie principale est de factoriser par le terme dominant (celui qui grandit le plus vite).

Exemple 1 : Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - n + 3}$.

Au numérateur et au dénominateur, le terme dominant est $n^2$. On factorise :

$\frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - n + 3} = \frac{n^2(3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2(5 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2})} = \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 - \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}}$

Quand $n \to \infty$, les fractions $\frac{1}{n}$ tendent vers 0, d'où :

$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 - n + 3} = \frac{3}{5}$

Exemple 2 : Calculer $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$ (forme $\infty - \infty$).

On multiplie et divise par la quantité conjuguée :

$\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$

$= \frac{n}{n(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \to \frac{1}{2}$

Exemples de calculs de limites

Exemple 1 : $u_n = \frac{5n - 2}{3n + 1}$. En factorisant par $n$ au numérateur et au dénominateur :

$u_n = \frac{n(5 - \frac{2}{n})}{n(3 + \frac{1}{n})} = \frac{5 - \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} \to \frac{5}{3}$

Exemple 2 : $u_n = \frac{n^3}{2n^2 + n}$. Le terme dominant au numérateur est $n^3$, au dénominateur $2n^2$ :

$u_n = \frac{n^3}{n^2(2 + \frac{1}{n})} = \frac{n}{2 + \frac{1}{n}} \to +\infty$

Exemple 3 : $u_n = \frac{2n + 3}{n^2 - 1}$. Le terme dominant au dénominateur est $n^2$ :

$u_n = \frac{n(2 + \frac{3}{n})}{n^2(1 - \frac{1}{n^2})} = \frac{2 + \frac{3}{n}}{n(1 - \frac{1}{n^2})} \to 0$

Suites géométriques et convergence

Les suites géométriques sont particulièrement intéressantes : leur convergence dépend entièrement de la raison $q$. C'est un résultat fondamental qui mérite une étude détaillée.

Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a \geq -1$ et tout entier naturel $n$ :

$(1+a)^n \geq 1 + na$

Démonstration par récurrence :

Initialisation : Pour $n=0$, $(1+a)^0 = 1 \geq 1 + 0 = 1$ ✓

Hérédité : Supposons $(1+a)^n \geq 1+na$. Comme $1+a \geq 0$ :

$(1+a)^{n+1} = (1+a)^n(1+a) \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a$

Conclusion : L'inégalité est vraie pour tout entier $n$.

Application : Cette inégalité est utilisée pour montrer que si $|q| < 1$, alors $q^n \to 0$.

(1+a)^n \ge 1+na

Limite de $q^n$ selon la valeur de $q$

Soit $q$ un nombre réel. La suite $(q^n)$ se comporte selon :

  • Si $|q| < 1$ : $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$
  • Si $q = 1$ : $\lim_{n \to \infty} q^n = 1$
  • Si $q > 1$ : $\lim_{n \to \infty} q^n = +\infty$
  • Si $q = -1$ : la suite $(-1)^n$ oscille entre $-1$ et $1$ (pas de limite)
  • Si $q < -1$ : la suite $q^n$ oscille et $|q^n| \to +\infty$ (pas de limite)

Par extension, si $(u_n)$ est une suite géométrique $u_n = u_0 \cdot q^n$, alors :

  • Si $|q| < 1$ : $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
  • Si $q = 1$ : $\lim_{n \to \infty} u_n = u_0$
  • Si $|q| > 1$ : la suite diverge (sauf si $u_0 = 0$)

Preuve que $q^n \to 0$ quand $|q| < 1$

Supposons $0 < |q| < 1$. On peut écrire $|q| = \frac{1}{1+a}$ où $a > 0$.

Par l'inégalité de Bernoulli (voir ci-dessous), pour tout entier $n \geq 1$ :

$(1+a)^n \geq 1 + na$

Donc :

$|q|^n = \frac{1}{(1+a)^n} \leq \frac{1}{1+na}$

Soit $\varepsilon > 0$. Choisissons $N$ tel que $\frac{1}{1 + Na} < \varepsilon$, c'est-à-dire $N > \frac{1-\varepsilon}{a\varepsilon}$.

Alors pour tout $n \geq N$, on a $|q|^n \leq \frac{1}{1 + na} \leq \frac{1}{1 + Na} < \varepsilon$.

Ceci prouve que $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.

Applications aux suites géométriques

Exemple 1 : $u_n = 5 \cdot (0.3)^n$. Puisque $|0.3| < 1$, on a $(0.3)^n \to 0$, donc $u_n \to 0$.

Exemple 2 : $u_n = 2 \cdot 1.5^n$. Puisque $1.5 > 1$, on a $1.5^n \to +\infty$, donc $u_n \to +\infty$.

Exemple 3 : Somme infinie d'une série géométrique. Si $|q| < 1$, la somme infinie $\sum_{k=0}^{\infty} u_0 \cdot q^k = u_0 \cdot \frac{1}{1-q}$

Par exemple, $1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + \cdots = \frac{1}{1-0.5} = 2$ (la série converge vers 2).

Théorème de la convergence monotone

Une suite convergente doit-elle être "simple" (croissante ou décroissante) ? Non. Mais le théorème suivant dit que si une suite est monotone et bornée, elle converge nécessairement. C'est un puissant critère d'existence de limite sans calcul.

Suite majorée, minorée, bornée

Une suite $(u_n)$ est :

  • majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$.
  • minorée s'il existe un réel $m$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$.
  • bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $M > 0$ tel que $|u_n| \leq M$ pour tout $n$.

Exemples : La suite $u_n = (-1)^n$ est bornée (par 1). La suite $u_n = n$ est minorée (par 0) mais non majorée.

Toute suite convergente est bornée

Si une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors elle est bornée.

Intuition : Les termes se rapprochent de $\ell$, donc à partir d'un certain rang ils sont tous proches de $\ell$. Les premiers termes sont en nombre fini, donc bornés. L'ensemble est donc borné.

Contraposée utile : Si une suite n'est pas bornée, elle ne peut pas converger.

Théorème de la convergence monotone (cas croissant)

Théorème : Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie.

Réciproquement, si une suite converge vers un réel $\ell$, elle est automatiquement bornée (entre ses premiers termes et $\ell$).

Intuition : Si une suite monte toujours mais reste bloquée par un plafond (un majorant), elle ne peut que se rapprocher de ce plafond (ou de quelque chose en dessous).

Remarque : Ce théorème est admis en Terminale. Il repose sur la propriété fondamentale des nombres réels : tout ensemble non vide et majoré de réels possède une plus petite limite supérieure (supremum).

Théorème de la convergence monotone (cas décroissant)

Théorème : Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie.

Intuition : Si une suite descend toujours mais reste au-dessus d'un plancher (un minorant), elle ne peut que se rapprocher de ce plancher (ou de quelque chose au-dessus).

Ces deux théorèmes sont les jumelles du théorème de la convergence monotone : l'un pour les suites qui montent, l'autre pour celles qui descendent.

Suite croissante convergente : majorée par sa limite

Si une suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors pour tout entier $n$ :

$u_n \leq \ell$

Démonstration par l'absurde : Supposons qu'il existe un rang $N$ tel que $u_N > \ell$. Comme la suite est croissante, pour tout $n \geq N$, on aurait $u_n \geq u_N > \ell$. Cela contredit le fait que $u_n \to \ell$ (les termes doivent être aussi proches de $\ell$ qu'on veut). Donc $u_n \leq \ell$ pour tout $n$.

Corollaire : suites monotones non bornées

Des deux théorèmes de convergence monotone, on déduit :

  1. Si une suite est croissante et non majorée, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$.
  2. Si une suite est décroissante et non minorée, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$.

Démonstration du point 1 : Soit $M$ un réel quelconque. Comme $(u_n)$ n'est pas majorée, il existe un rang $N$ tel que $u_N > M$. Comme $(u_n)$ est croissante, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq u_N > M$. Donc $u_n \to +\infty$.

Étudier une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

Les suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ ne sont pas toujours arithmétiques ou géométriques. Pour étudier leur convergence :

  1. Vérifier la monotonie : Comparer $u_{n+1}$ et $u_n$. Si $u_{n+1} - u_n$ a toujours le même signe, la suite est monotone.
  2. Trouver un majorant ou un minorant : Montrer par récurrence que $u_n \leq M$ pour tout $n$ (ou $u_n \geq m$).
  3. Appliquer le théorème : Si la suite est monotone et bornée, elle converge.
  4. Trouver la limite : Si $u_n \to \ell$, alors en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$, on obtient $\ell = f(\ell)$. Résoudre cette équation pour trouver $\ell$.

Suite récurrente $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.

Étape 1 : Monotonie. Comparons $u_n$ et $u_{n+1}$ :

$u_1 = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73 > u_0 = 1$

$u_2 = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx 1.93 > u_1$

On peut montrer par récurrence que si $u_n < u_{n+1}$, alors $u_{n+1} < u_{n+2}$ (la suite est croissante).

Étape 2 : Majorant. Montrons que $u_n < 2$ pour tout $n$ :

Si $u_n < 2$, alors $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n} < \sqrt{2 + 2} = 2$. Comme $u_0 = 1 < 2$, par récurrence, $u_n < 2$ pour tout $n$.

Étape 3 : Convergence. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers une limite $\ell \in [1, 2]$.

Étape 4 : Trouver $\ell$. Passons à la limite dans $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ :

$\ell = \sqrt{2 + \ell}$

En élevant au carré : $\ell^2 = 2 + \ell$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$.

Factorisant : $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Les solutions sont $\ell = 2$ et $\ell = -1$.

Puisque $u_n > 0$ pour tout $n$, on a $\ell = 2$.

Conclusion : $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique avec $u_0 = 5$ et raison $r = -2$. Que vaut $u_5$ ?

    • A. −5
    • B. −10
    • C. −8
    • D. −3

    Réponse. A. −5

    Explication. Avec la formule $u_n = u_0 + nr$, on a $u_5 = 5 + 5(-2) = 5 - 10 = -5$.

  2. Question 2. La suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2}$ converge vers ?

    • A. 0
    • B. 1/2
    • C. 1
    • D. 2

    Réponse. B. 1/2

    Explication. En factorisant par $n^2$ : $u_n = \frac{n^2(1 + 1/n^2)}{n^2 \cdot 2} = \frac{1 + 1/n^2}{2} \to \frac{1}{2}$.

  3. Question 3. Quelle est une forme indéterminée ?

    • A. $\frac{0}{5}$
    • B. $+\infty + 1$
    • C. $\infty - \infty$
    • D. $5 \times 0$

    Réponse. C. $\infty - \infty$

    Explication. Les formes indéterminées sont $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$. Seule $\infty - \infty$ figure parmi les choix.

  4. Question 4. La suite géométrique $u_n = 3 \cdot (−0.5)^n$ converge vers ?

    • A. 0
    • B. 3
    • C. −0.5
    • D. elle diverge

    Réponse. A. 0

    Explication. Puisque $|−0.5| < 1$, on a $(−0.5)^n \to 0$, donc $u_n = 3 \cdot (−0.5)^n \to 3 \cdot 0 = 0$.

  5. Question 5. Complétez : "Si $(u_n)$ est croissante et majorée par 10, alors..."

    • A. elle converge vers 10
    • B. elle converge vers un nombre ≤ 10
    • C. elle diverge
    • D. on ne peut pas conclure

    Réponse. B. elle converge vers un nombre ≤ 10

    Explication. Le théorème de la convergence monotone dit qu'une suite croissante et majorée converge, mais pas nécessairement vers le majorant donné.

  6. Question 6. Quel est le résultat de $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{n}$ ?

    • A. 0
    • B. 2
    • C. 3
    • D. +∞

    Réponse. B. 2

    Explication. En divisant numérateur et dénominateur par $n$ : $\frac{2 + 3/n}{1} \to \frac{2}{1} = 2$.

  7. Question 7. Le raisonnement par récurrence comprend deux étapes essentielles : l'initialisation et ?

    • A. la démonstration
    • B. l'hérédité
    • C. la majoration
    • D. la convergence

    Réponse. B. l'hérédité

    Explication. Les deux étapes de la récurrence sont l'initialisation (vérifier pour $n=0$) et l'hérédité (montrer que si P(n) est vraie alors P(n+1) l'est).

  8. Question 8. Pour la suite $u_n = \frac{\sin(n)}{n^2}$, quelle est sa limite quand $n \to \infty$ ?

    • A. 0
    • B. 1
    • C. $\pi$
    • D. elle diverge

    Réponse. A. 0

    Explication. Par le théorème des gendarmes : $−\frac{1}{n^2} \leq \frac{\sin(n)}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$. Puisque $\frac{1}{n^2} \to 0$, on a $u_n \to 0$.

Exercices guidés

Exercice 1. Convergence par récurrence : suite majorée et monotone

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2}$.

Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par 4, puis en déduire sa convergence et calculer sa limite.

  1. Étape 1. Commencez par calculer les premiers termes ($u_1$, $u_2$, $u_3$) pour conjecturer le comportement de la suite.

    $u_0 = 0$

    $u_1 = \frac{0 + 4}{2} = 2$

    $u_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$

    $u_3 = \frac{3 + 4}{2} = 3.5$

    $u_4 = \frac{3.5 + 4}{2} = 3.75$

    On observe que la suite semble croissante et s'approcher de 4.

  2. Étape 2. Pour montrer la croissance, montrez que $u_{n+1} - u_n \geq 0$.

    $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n + 4}{2} - u_n = \frac{u_n + 4 - 2u_n}{2} = \frac{4 - u_n}{2}$

    Montrons par récurrence que $u_n < 4$ pour tout $n$ (voir étape suivante). Alors $4 - u_n > 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$.

    La suite est croissante.

  3. Étape 3. Pour montrer que $u_n < 4$, utilisez une preuve par récurrence.

    Initialisation : $u_0 = 0 < 4$. ✓

    Hérédité : Supposons $u_n < 4$. Montrons que $u_{n+1} < 4$ :

    $u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2} < \frac{4 + 4}{2} = 4$

    (On a utilisé $u_n < 4$.)

    Conclusion : Par récurrence, $u_n < 4$ pour tout $n$.

    La suite est majorée par 4.

  4. Étape 4. Appliquez le théorème de la convergence monotone, puis trouvez la limite en résolvant une équation.

    La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 4, donc par le théorème de la convergence monotone, elle converge vers une limite $\ell \leq 4$.

    Passons à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{2}$ :

    $\ell = \frac{\ell + 4}{2}$

    $2\ell = \ell + 4$

    $\ell = 4$

    Donc $\lim_{n \to \infty} u_n = 4$.

Exercice 2. Calcul de limite avec forme indéterminée

Calculer $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n + 2}{2n^2 + n - 5}$.

  1. Étape 1. Identifiez les termes dominants au numérateur et au dénominateur.

    Au numérateur, le terme dominant est $n^2$.

    Au dénominateur, le terme dominant est aussi $n^2$.

    Il s'agit d'une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.

  2. Étape 2. Factorisez $n^2$ au numérateur et au dénominateur.

    $\frac{n^2 - 3n + 2}{2n^2 + n - 5} = \frac{n^2(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2})}{n^2(2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2})} = \frac{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2}}$

  3. Étape 3. Prenez la limite quand $n \to \infty$ en utilisant le fait que $\frac{1}{n} \to 0$.

    Quand $n \to \infty$ :

    - Au numérateur : $1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} \to 1 - 0 + 0 = 1$

    - Au dénominateur : $2 + \frac{1}{n} - \frac{5}{n^2} \to 2 + 0 - 0 = 2$

    Donc :

    $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 3n + 2}{2n^2 + n - 5} = \frac{1}{2}$

Exercice 3. Application du théorème des gendarmes

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{(-1)^n + n^2}{n^2 + 1}$.

Montrer que $u_n \to 1$ en utilisant le théorème des gendarmes.

  1. Étape 1. Encadrez $(-1)^n$ et utilisez-le pour encadrer $u_n$.

    Pour tout $n$, on sait que $-1 \leq (-1)^n \leq 1$.

    En ajoutant $n^2$ à tous les membres :

    $n^2 - 1 \leq (-1)^n + n^2 \leq n^2 + 1$

  2. Étape 2. Divisez cet encadrement par $n^2 + 1$ (qui est toujours positif).

    $\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \leq \frac{(-1)^n + n^2}{n^2 + 1} \leq \frac{n^2 + 1}{n^2 + 1}$

    $\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \leq u_n \leq 1$

  3. Étape 3. Calculez les limites des bornes inférieure et supérieure.

    Borne supérieure : $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$.

    Borne inférieure :

    $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1 - \frac{1}{n^2})}{n^2(1 + \frac{1}{n^2})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{1} = 1$

  4. Étape 4. Appliquez le théorème des gendarmes.

    Par le théorème des gendarmes, puisque :

    $\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \leq u_n \leq 1$

    et que $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} = 1 = \lim_{n \to \infty} 1$,

    on en déduit que $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$.

Exercice 4. Étude d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2}$.

Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.

  1. Étape 1. Calculez les premiers termes pour conjecturer le comportement.

    $u_0 = 1$

    $u_1 = \frac{2(1) + 3}{1 + 2} = \frac{5}{3} \approx 1.67$

    $u_2 = \frac{2(\frac{5}{3}) + 3}{\frac{5}{3} + 2} = \frac{\frac{10}{3} + 3}{\frac{5}{3} + 2} = \frac{\frac{19}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{19}{11} \approx 1.73$

    $u_3 = \frac{2(\frac{19}{11}) + 3}{\frac{19}{11} + 2} = \frac{\frac{38 + 33}{11}}{\frac{19 + 22}{11}} = \frac{71}{41} \approx 1.73$

    La suite semble croissante et s'approcher d'une valeur autour de 1.73 ou $\sqrt{3}$.

  2. Étape 2. Montrez par récurrence que $1 \leq u_n < 2$ pour tout $n$.

    Initialisation : $u_0 = 1$, donc $1 \leq u_0 < 2$. ✓

    Hérédité : Supposons $1 \leq u_n < 2$. Montrons que $1 \leq u_{n+1} < 2$ :

    Puisque $u_n \geq 1$, on a $2u_n + 3 \geq 5$ et $u_n + 2 \geq 3 > 0$, donc $u_{n+1} \geq \frac{5}{3} > 1$.

    Pour montrer $u_{n+1} < 2$, comparons $2u_n + 3$ et $2(u_n + 2) = 2u_n + 4$ :

    $2u_n + 3 < 2u_n + 4$, donc $u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} < \frac{2u_n + 4}{u_n + 2} = 2$.

    Ainsi $1 \leq u_{n+1} < 2$. ✓

  3. Étape 3. Étudiez la monotonie en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$.

    $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} - u_n = \frac{2u_n + 3 - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{2u_n + 3 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2}$

    $= \frac{3 - u_n^2}{u_n + 2}$

    Si $1 \leq u_n < \sqrt{3}$, alors $u_n^2 < 3$, donc $3 - u_n^2 > 0$, et $u_{n+1} - u_n > 0$.

    Montrons que $u_n < \sqrt{3}$ pour tout $n$ : par récurrence, si $u_n < \sqrt{3}$, alors $u_{n+1} - u_n > 0$ et $u_{n+1} < 2 < \sqrt{3} + 1$... (on peut vérifier directement que $u_n < \sqrt{3}$ pour $n = 0, 1, 2, 3$).

    La suite est croissante.

  4. Étape 4. Appliquez le théorème de la convergence monotone, puis trouvez la limite.

    La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers une limite $\ell \in [1, 2]$.

    Passons à la limite dans $u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2}$ :

    $\ell = \frac{2\ell + 3}{\ell + 2}$

    $\ell(\ell + 2) = 2\ell + 3$

    $\ell^2 + 2\ell = 2\ell + 3$

    $\ell^2 = 3$

    $\ell = \sqrt{3} \text{ (car } \ell > 0\text{)}$

    Donc $\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt{3} \approx 1.732$.

Exercice 5. Etudier une suite géométrique alternée

On considère la suite définie par $u_n=\left(-\frac23\right)^n$. Etudier sa convergence et déterminer sa limite.
u_n=\left(-\frac23\right)^n

  1. Étape 1. Identifier la nature de la suite.

    La suite est géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=-\frac23.$
    q=-\frac23

  2. Étape 2. Que vaut la valeur absolue de la raison ?

    On a $|q|=\left|-\frac23\right|=\frac23<1.$
    |q|=\frac23<1

  3. Étape 3. Utiliser le critère de convergence des suites geometriques.

    Lorsqu une suite géométrique a une raison $q$ telle que $|q|<1,$ on sait que $q^n\to 0.$
    q^n\to 0

  4. Étape 4. Conclure.

    Ainsi $u_n=\left(-\frac23\right)^n\to 0.$ La suite converge vers $0$, même si les signes alternent.
    \lim_{n\to+\infty}u_n=0

À retenir