Troisième

Agrandissement - réduction

Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant toutes les longueurs par un même nombre positif appelé rapport. Un rapport agit directement sur les longueurs. Les aires et les volumes changent plus vite : avec le carré ou le cube du rapport.

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Rapport d'agrandissement ou de réduction

Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant toutes les longueurs par un même nombre positif appelé rapport.

Effet d'un rapport sur longueurs, aires et volumes
Un rapport agit directement sur les longueurs. Les aires et les volumes changent plus vite : avec le carré ou le cube du rapport.

Agrandir ou réduire

Agrandir ou réduire une figure, c'est construire une figure de même forme en multipliant toutes les longueurs par un nombre strictement positif $k.$ Ce nombre $k$ est le rapport d'agrandissement ou de réduction.

Lire le rapport

  • Si $k>1,$ on effectue un agrandissement.
  • Si $0
  • Si $k=1,$ la figure est reproduite à la même taille.

Ce qui est conservé

Dans un agrandissement ou une réduction, les angles sont conservés, les alignements sont conservés et les formes restent les mêmes.

Rapport 3,5

Si une figure est agrandie avec le rapport $3,5,$ alors une longueur de $4$ cm devient :

$4\times3,5=14\ \text{cm}.$

Le rapport doit être appliqué à toutes les longueurs

On ne peut pas multiplier une seule longueur et laisser les autres inchangées. Toutes les longueurs correspondantes doivent être multipliées par le même rapport.

Effet sur les longueurs, les aires et les volumes

Le rapport ne s'applique pas de la même manière selon ce qu'on mesure. Une longueur, une aire et un volume ne changent pas avec le même facteur.

Longueurs

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k,$ toutes les longueurs sont multipliées par $k.$

Si $L=5$ cm et $k=0,8,$ alors $L'=0,8\times5=4$ cm.

Aires

Les aires sont multipliées par $k^2.$

Si une aire vaut $13\ \text{cm}^2$ et si $k=0,8,$ alors :

$A'=0,8^2\times13=0,64\times13=8,32\ \text{cm}^2.$

Volumes

Les volumes sont multipliés par $k^3.$

Si un volume vaut $60\ \text{cm}^3$ et si $k=0,8,$ alors :

$V'=0,8^3\times60=0,512\times60=30,72\ \text{cm}^3.$

Cube agrandi

Un cube de côté $3$ cm est agrandi avec un rapport $4.$ Son nouveau côté vaut $12$ cm. Son volume est multiplié par $4^3=64.$ Comme le volume initial vaut $27\ \text{cm}^3,$ le nouveau volume vaut :

$64\times27=1728\ \text{cm}^3.$

Aire : ne pas multiplier seulement par k

Si les longueurs sont multipliées par $3,$ les aires sont multipliées par $9,$ pas par $3.$ Les volumes seraient multipliés par $27.$

Calculer un rapport ou une mesure

Dans un exercice, on peut connaître le rapport et chercher une nouvelle mesure, ou connaître deux mesures correspondantes et retrouver le rapport.

Trouver le rapport

Pour trouver un rapport, on divise une longueur de la figure finale par la longueur correspondante de la figure initiale :

$k=\frac{\text{longueur finale}}{\text{longueur initiale}}.$

Calculer k

Une longueur de $6$ cm devient $15$ cm. Le rapport est :

$k=\frac{15}{6}=2,5.$

Il s'agit donc d'un agrandissement.

Retrouver une mesure initiale

Si on connaît la longueur finale et le rapport, on peut revenir en arrière en divisant par le rapport.

Si une longueur finale vaut $18$ cm avec un rapport $3,$ alors la longueur initiale vaut $18\div3=6$ cm.

Aire initiale

Une aire finale vaut $45\ \text{cm}^2$ après un agrandissement de rapport $3.$ Les aires ont été multipliées par $9.$ Donc l'aire initiale vaut :

$45\div9=5\ \text{cm}^2.$

Toujours vérifier le type de mesure

Avant de calculer, on vérifie si l'énoncé parle d'une longueur, d'une aire ou d'un volume. C'est ce choix qui détermine si on utilise $k,$ $k^2$ ou $k^3.$

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si une figure est agrandie avec le rapport $2,$ les longueurs sont multipliées par :

    • A. $2$
    • B. $4$
    • C. $6$
    • D. $8$

    Réponse. A. $2$

    Explication. Les longueurs sont multipliées directement par le rapport $k.$

  2. Question 2. Si $k=3,$ les aires sont multipliées par :

    • A. $3$
    • B. $6$
    • C. $9$
    • D. $27$

    Réponse. C. $9$

    Explication. Les aires sont multipliées par $k^2.$ Ici, $3^2=9.$

  3. Question 3. Si $k=2,$ les volumes sont multipliés par :

    • A. $2$
    • B. $4$
    • C. $6$
    • D. $8$

    Réponse. D. $8$

    Explication. Les volumes sont multipliés par $k^3.$ Ici, $2^3=8.$

  4. Question 4. Une longueur de $6$ cm devient $15$ cm. Le rapport vaut :

    • A. $0,4$
    • B. $2,5$
    • C. $9$
    • D. $21$

    Réponse. B. $2,5$

    Explication. On calcule $\dfrac{15}{6}=2,5.$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer des longueurs après réduction

Un triangle a des côtés de $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. On le réduit avec le rapport $0,6.$ Calculer les longueurs du triangle réduit.

  1. Étape 1. Appliquer le rapport à chaque longueur.

    On multiplie chaque longueur par $0,6.$

  2. Étape 2. Calculer.

    $5\times0,6=3,$ $7\times0,6=4,2$ et $9\times0,6=5,4.$

  3. Étape 3. Conclure.

    Les longueurs du triangle réduit sont $3$ cm, $4,2$ cm et $5,4$ cm.

Exercice 2. Calculer une aire après agrandissement

Une figure a une aire de $24\ \text{cm}^2.$ On l'agrandit avec le rapport $2,5.$ Calculer l'aire de la figure agrandie.

  1. Étape 1. Choisir le bon facteur.

    Pour les aires, on multiplie par $k^2.$ Ici, $2,5^2=6,25.$

  2. Étape 2. Calculer l'aire.

    $A'=6,25\times24=150\ \text{cm}^2.$

  3. Étape 3. Conclure.

    L'aire de la figure agrandie vaut $150\ \text{cm}^2.$

Exercice 3. Retrouver un volume initial

Après un agrandissement de rapport $3,$ un solide a un volume de $135\ \text{cm}^3.$ Calculer le volume initial.

  1. Étape 1. Trouver le facteur sur les volumes.

    Les volumes sont multipliés par $3^3=27.$

  2. Étape 2. Revenir au volume initial.

    On divise le volume final par $27$ :

    $135\div27=5.$

  3. Étape 3. Conclure.

    Le volume initial vaut $5\ \text{cm}^3.$

À retenir