Troisième
Arithmétique
L'arithmétique étudie les nombres entiers. Le réflexe principal est de savoir si un entier se partage exactement par un autre, puis d'utiliser cette information pour calculer, simplifier ou démontrer.
Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.
Multiples, diviseurs et division euclidienne
L'arithmétique étudie les nombres entiers. Le réflexe principal est de savoir si un entier se partage exactement par un autre, puis d'utiliser cette information pour calculer, simplifier ou démontrer.
Division euclidienne
Pour deux entiers positifs $a$ et $b,$ avec $b\neq0,$ la division euclidienne de $a$ par $b$ s'écrit :
$a=b\times q+r$
où $q$ est le quotient entier et $r$ le reste. Le reste vérifie toujours $0\le r
Multiple et diviseur
Dire que $b$ est un diviseur de $a$ signifie que la division de $a$ par $b$ tombe juste, donc que le reste vaut $0.$ On peut alors écrire $a=b\times q.$
Par exemple, $72=8\times9.$ Donc $8$ divise $72,$ et $72$ est un multiple de $8.$
Critères de divisibilité
Quelques critères permettent de gagner du temps :
- un nombre est divisible par $2$ s'il est pair ;
- il est divisible par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$ ;
- il est divisible par $10$ s'il se termine par $0$ ;
- il est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
- il est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9.$
Utiliser le reste
La division euclidienne de $752$ par $6$ donne :
$752=6\times125+2.$
Le reste vaut $2,$ donc $752$ n'est pas divisible par $6.$
Sens des phrases
On dit que $8$ divise $72,$ mais on ne dit pas que $72$ divise $8.$ Le plus petit nombre peut être un diviseur du plus grand ; le plus grand peut être un multiple du plus petit.
Nombres premiers et diviseurs communs
Les nombres premiers sont les briques de base des entiers. Les reconnaître aide à décomposer un nombre, à trouver des diviseurs communs et à rendre une fraction irréductible.
Nombre premier
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même.
Ainsi, $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$ sont les nombres premiers inférieurs à $30.$ Le nombre $1$ n'est pas premier.
Tester si un nombre est premier
Pour tester un nombre, on essaie de le diviser par les petits nombres premiers : $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ puis les suivants si nécessaire. Dès qu'on trouve un diviseur différent de $1$ et du nombre lui-même, le nombre n'est pas premier.
Diviseur commun
Un diviseur commun de deux nombres est un entier qui divise les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est le plus grand de ces diviseurs.
Par exemple, les diviseurs communs de $60$ et $100$ sont $1,2,4,5,10,20.$ Le plus grand est $20.$
Nombres premiers entre eux
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun positif est $1.$ Dans ce cas, la fraction formée avec ces deux nombres est irréductible.
Fraction irréductible
Les nombres $32$ et $45$ sont premiers entre eux : $32$ n'a que des facteurs $2,$ tandis que $45=3^2\times5.$ Donc la fraction $\dfrac{32}{45}$ est irréductible.
Impair ne veut pas dire premier
Un nombre impair peut être composé. Par exemple, $9=3\times3,$ $15=3\times5$ et $21=3\times7.$ Ils ne sont donc pas premiers.
Décomposer en facteurs premiers
Décomposer un nombre en facteurs premiers permet de voir clairement ses diviseurs. C'est aussi une méthode très efficace pour simplifier une fraction.
Décomposition d'un entier
Tout entier supérieur ou égal à $2$ peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près.
Par exemple :
$2520=2^3\times3^2\times5\times7.$
Méthode de décomposition
Pour décomposer un nombre, on divise successivement par des nombres premiers :
- on commence par $2$ si le nombre est pair ;
- sinon on essaie $3,$ puis $5,$ puis $7,$ etc. ;
- on continue jusqu'à obtenir $1.$
Décomposer 2520
On peut écrire :
$2520=252\times10=(2^2\times3^2\times7)\times(2\times5).$
Donc :
$2520=2^3\times3^2\times5\times7.$
Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction, on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on barre les facteurs communs.
Comme $1512=2^3\times3^3\times7$ et $2520=2^3\times3^2\times5\times7,$ on obtient :
$\frac{1512}{2520}=\frac{3}{5}.$
Autre simplification
On veut simplifier $\dfrac{540}{1620}.$ Comme $1620=3\times540,$ on obtient directement :
$\frac{540}{1620}=\frac{1}{3}.$
La décomposition confirme ce résultat.
Aller jusqu'aux nombres premiers
Écrire $12=3\times4$ ne suffit pas pour une décomposition en facteurs premiers, car $4$ n'est pas premier. Il faut écrire $12=2^2\times3.$
QCM du chapitre
-
Question 1. Quelle égalité est la division euclidienne de $752$ par $6$ ?
- A. $752=6\times124+8$
- B. $752=6\times125+2$
- C. $752=6\times126-4$
- D. $752=125\times2+6$
Réponse. B. $752=6\times125+2$
Explication. Le reste doit être positif et strictement inférieur à $6.$ Ici, $752=6\times125+2.$
-
Question 2. Le nombre $4518$ est divisible par $9$ car :
- A. il est pair
- B. il se termine par 8
- C. la somme de ses chiffres vaut 18
- D. il contient le chiffre 9
Réponse. C. la somme de ses chiffres vaut 18
Explication. On calcule $4+5+1+8=18,$ et $18$ est divisible par $9.$
-
Question 3. Quel nombre est premier ?
- A. $21$
- B. $27$
- C. $29$
- D. $33$
Réponse. C. $29$
Explication. Le nombre $29$ n'a pas de diviseur autre que $1$ et $29.$ Les autres sont divisibles par $3$ ou $7.$
-
Question 4. La fraction $\dfrac{1512}{2520}$ se simplifie en :
- A. $\dfrac{3}{5}$
- B. $\dfrac{5}{3}$
- C. $\dfrac{7}{10}$
- D. $\dfrac{1}{2}$
Réponse. A. $\dfrac{3}{5}$
Explication. On a $1512=2^3\times3^3\times7$ et $2520=2^3\times3^2\times5\times7,$ donc il reste $\dfrac{3}{5}.$
Exercices guidés
Exercice 1. Faire une division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de $947$ par $8,$ puis dire si $947$ est divisible par $8.$
-
Étape 1. Chercher le plus grand multiple de 8 inférieur à 947.
On a $8\times118=944$ et $8\times119=952,$ qui est trop grand.
-
Étape 2. Écrire l'égalité avec le reste.
$947=8\times118+3.$
-
Étape 3. Conclure.
Le reste vaut $3,$ donc $947$ n'est pas divisible par $8.$
Exercice 2. Simplifier une fraction avec les facteurs premiers
Simplifier la fraction $\dfrac{540}{1620}.$
-
Étape 1. Décomposer les deux nombres.
$540=2^2\times3^3\times5$ et $1620=2^2\times3^4\times5.$
-
Étape 2. Supprimer les facteurs communs.
Les facteurs $2^2,$ $3^3$ et $5$ sont communs au numérateur et au dénominateur.
-
Étape 3. Conclure.
Il reste $1$ au numérateur et $3$ au dénominateur :
$\frac{540}{1620}=\frac{1}{3}.$
Exercice 3. Reconnaître deux nombres premiers entre eux
Montrer que $84$ et $55$ sont premiers entre eux.
-
Étape 1. Décomposer les deux nombres.
$84=2^2\times3\times7$ et $55=5\times11.$
-
Étape 2. Chercher les facteurs communs.
Les deux décompositions n'ont aucun facteur premier en commun.
-
Étape 3. Conclure.
Le seul diviseur commun positif est $1.$ Donc $84$ et $55$ sont premiers entre eux.
À retenir
- La division euclidienne de $a$ par $b\neq0$ s'écrit $a=bq+r$ avec $0\le r<b$.
- Si le reste vaut $0,$ alors $b$ divise $a$ et $a$ est un multiple de $b$.
- Un nombre est divisible par $3$ ou $9$ selon la somme de ses chiffres.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même.
- Le nombre $1$ n'est pas premier.
- Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est $1$.
- Toute décomposition en facteurs premiers doit aller jusqu'à des facteurs tous premiers.
- Pour simplifier une fraction, on peut décomposer le numérateur et le dénominateur.
- On supprime les facteurs communs pour obtenir une fraction plus simple.
- Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.