Troisième

Calcul littéral

Le calcul littéral utilise des lettres pour représenter des nombres. Transformer une expression permet de la rendre plus courte, de faciliter un calcul ou de résoudre un problème.

Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.

Expressions littérales et réduction

Le calcul littéral utilise des lettres pour représenter des nombres. Transformer une expression permet de la rendre plus courte, de faciliter un calcul ou de résoudre un problème.

Expression littérale

Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres. Par exemple $3x+7$, $5a^2-2a+1$ et $4(x-3)$ sont des expressions littérales.

Dans $3x,$ le nombre $3$ est le coefficient de $x.$ On écrit $3x$ plutôt que $3\times x.$

Substituer une valeur

Calculer une expression pour une valeur donnée consiste à remplacer la lettre en conservant les parenthèses nécessaires. Si $A=2x^2-3x+1$ et $x=-2,$ alors :

$A=2\times(-2)^2-3\times(-2)+1=8+6+1=15.$

Réduire une expression

Réduire une expression consiste à regrouper les termes de même nature. Par exemple :

$5x+3-2x+7=3x+10.$

En revanche, on ne peut pas réduire $3x+4$ ni additionner $x$ et $x^2.$

Produits de lettres

On utilise les mêmes règles qu'en calcul numérique :

  • $x\times x=x^2$ ;
  • $3x\times4=12x$ ;
  • $2x\times5x=10x^2$ ;
  • $a\times b=ab$.

Réduire avec méthode

Réduisons $B=4x^2-3x+5+2x^2+7x-9.$ On regroupe les termes comparables :

$B=(4x^2+2x^2)+(-3x+7x)+(5-9)=6x^2+4x-4.$

Termes de natures différentes

On ne peut pas écrire $3x+2=5x$ ni $4x^2+3x=7x^2.$ Seuls les termes comportant exactement la même partie littérale peuvent être regroupés.

Développer et factoriser

Développer transforme un produit en somme. Factoriser fait l'inverse : on transforme une somme en produit. Les deux mouvements sont complémentaires.

Distributivité simple

Pour tous nombres $k,$ $a$ et $b$ :

$k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb.$

Exemple : $5(2x-3)=10x-15.$

Signe moins devant une parenthèse

Le signe moins distribue $-1$ à chaque terme :

$-(3x-7)=-3x+7.$

Le deuxième signe change lui aussi. C'est une source fréquente d'erreurs.

Double distributivité

Pour développer un produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$

Exemple :

$(x+3)(2x-5)=2x^2-5x+6x-15=2x^2+x-15.$

Factoriser par un facteur commun

On cherche un facteur présent dans chaque terme. Par exemple :

$12x+18=6(2x+3).$

Dans $7x(x-4)+3(x-4),$ le facteur commun est $(x-4)$. Donc :

$7x(x-4)+3(x-4)=(x-4)(7x+3).$

Identités remarquables

On retient trois égalités utiles :

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ;
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ;
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Elles permettent de développer rapidement et parfois de factoriser.

Utiliser une identité remarquable

On développe :

$(2x-5)^2=(2x)^2-2\times2x\times5+5^2=4x^2-20x+25.$

Dans l'autre sens, $x^2-49$ se factorise en $(x-7)(x+7).$

Carré d'une somme

On ne doit jamais écrire $(a+b)^2=a^2+b^2.$ Le terme du milieu est indispensable :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

Résoudre des équations

Une équation est une égalité dont une valeur est inconnue. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Équation et solution

Une solution d'une équation est une valeur qui rend l'égalité vraie. Par exemple $x=4$ est solution de $3x-5=7$ car $3\times4-5=7.$

Conserver une égalité

On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une égalité. On peut aussi multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Ces transformations permettent d'isoler progressivement l'inconnue.

Équation du premier degré

Résolvons $5x-7=2x+8.$ On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre :

$5x-7=2x+8$

$3x-7=8$

$3x=15$

$x=5.$

Produit nul

Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul :

$AB=0\Longleftrightarrow A=0\ \text{ou}\ B=0.$

Ainsi, $(x-3)(2x+5)=0$ donne $x=3$ ou $x=-\dfrac52.$

Choisir une forme utile

Une forme développée est utile pour réduire ou comparer des termes. Une forme factorisée est utile pour résoudre une équation produit nul. Par exemple, pour résoudre $x^2-9=0,$ on factorise :

$x^2-9=(x-3)(x+3).$

Donc $x=3$ ou $x=-3.$

Tester une solution

Pour vérifier que $x=-2$ est solution de $4x+3=-5,$ on remplace $x$ par $-2$ dans le membre de gauche :

$4\times(-2)+3=-8+3=-5.$

On retrouve le membre de droite : la valeur est bien solution.

Diviser par zéro

On ne divise jamais par zéro. Dans une résolution, si l'on souhaite diviser par une expression contenant $x,$ il faut d'abord vérifier qu'elle n'est pas nulle. En Troisième, la factorisation et la règle du produit nul évitent souvent cette difficulté.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Réduire $5x-3+2x+8$.

    • A. $7x+5$
    • B. $7x-11$
    • C. $10x+5$
    • D. $7x^2+5$

    Réponse. A. $7x+5$

    Explication. On regroupe les termes en $x$ puis les constantes : $5x+2x=7x$ et $-3+8=5$.

  2. Question 2. Développer $3(2x-5)$.

    • A. $6x-5$
    • B. $6x-15$
    • C. $5x-15$
    • D. $6x+15$

    Réponse. B. $6x-15$

    Explication. Le facteur 3 multiplie chaque terme de la parenthèse.

  3. Question 3. Factoriser $14x+21$.

    • A. $7(2x+3)$
    • B. $7(2x+14)$
    • C. $14(x+21)$
    • D. $3(14x+7)$

    Réponse. A. $7(2x+3)$

    Explication. Le facteur commun 7 donne $14x+21=7(2x+3)$.

  4. Question 4. Résoudre $(x-4)(2x+3)=0$.

    • A. $x=4$ seulement
    • B. $x=-\dfrac32$ seulement
    • C. $x=4$ ou $x=-\dfrac32$
    • D. $x=-4$ ou $x=\dfrac32$

    Réponse. C. $x=4$ ou $x=-\dfrac32$

    Explication. Un produit est nul lorsqu'au moins un facteur est nul.

Exercices guidés

Exercice 1. Développer et réduire

Développer et réduire :

$A=3(2x-5)-(x+4)(x-2).$

  1. Étape 1. Développer chaque produit.

    $3(2x-5)=6x-15.$ Pour le deuxième produit :

    $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8.$

  2. Étape 2. Gérer le signe moins.

    $A=6x-15-(x^2+2x-8)=6x-15-x^2-2x+8.$

  3. Étape 3. Réduire.

    Donc $A=-x^2+4x-7.$

Exercice 2. Factoriser puis résoudre

Résoudre l'équation :

$5x(x-2)+3(x-2)=0.$

  1. Étape 1. Repérer le facteur commun.

    Le facteur $(x-2)$ apparaît dans les deux termes.

  2. Étape 2. Factoriser.

    $5x(x-2)+3(x-2)=(x-2)(5x+3).$

  3. Étape 3. Utiliser la règle du produit nul.

    $(x-2)(5x+3)=0$ signifie $x-2=0$ ou $5x+3=0.$ Donc $x=2$ ou $x=-\dfrac35.$

À retenir