Troisième

Calcul numérique

Le calcul numérique consiste à calculer avec des nombres connus. En Troisième, il faut avancer avec ordre : repérer les signes, respecter les priorités et écrire des étapes assez courtes pour pouvoir contrôler son résultat.

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Nombres relatifs, priorités et calculs en chaîne

Nombres relatifs

Un nombre relatif possède un signe et une distance à zéro. Les nombres $-7$ et $+7$ sont opposés : leur somme vaut $0$. La distance à zéro de $-7$ est $7$.

Sur une droite graduée, le plus grand nombre est celui qui se trouve le plus à droite. Ainsi $-3>-8$.

Additionner et soustraire

Pour additionner deux nombres de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on conserve le signe. Par exemple $(-5)+(-8)=-13.$

Pour additionner deux nombres de signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Ainsi $(-12)+7=-5.$

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b).$

Multiplier et diviser

Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

$(-4)\times(-6)=24$ ;
$(-35)\div7=-5$ ;
$18\div(-3)=-6$.

Ordre des opérations

On calcule dans l'ordre suivant :

les parenthèses ;
les puissances ;
les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple : $A=7-3\times(-2)^2=7-3\times4=7-12=-5.$

Un calcul rédigé proprement

Calculons $B=15-2\times(4-7).$ On commence par la parenthèse :

$B=15-2\times(-3)=15-(-6)=21.$

Écrire une égalité par étape permet de voir immédiatement où intervient le signe négatif.

Deux pièges classiques

On ne confond pas $-3^2$ et $(-3)^2$ :

$-3^2=-(3^2)=-9$ ;
$(-3)^2=9$.

On ne calcule pas non plus une addition avant une multiplication simplement parce qu'elle apparaît à gauche.

Fractions, inverses et quotients

Une fraction est une écriture exacte. Le bon réflexe est de garder cette écriture le plus longtemps possible, puis de simplifier avec des facteurs communs.

Fraction et inverse

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est définie lorsque $b\neq0.$ Elle représente le quotient de $a$ par $b.$

L'inverse d'un nombre non nul $a$ est $\dfrac{1}{a}.$ Plus généralement, l'inverse de $\dfrac{a}{b}$, avec $a\neq0$ et $b\neq0,$ est $\dfrac{b}{a}.$

Ajouter ou soustraire des fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord obtenir un dénominateur commun :

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}.$

Exemple : $\frac34-\frac56=\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}.$

Multiplier et diviser des fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse :

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c},$ avec $c\neq0.$

Simplifier avant de multiplier

On cherche des facteurs communs au numérateur et au dénominateur avant d'effectuer les produits. Par exemple :

$\frac{14}{15}\times\frac{25}{21}=\frac{2\times7\times5\times5}{3\times5\times3\times7}=\frac{2\times5}{3\times3}=\frac{10}{9}.$

On a utilisé les décompositions $14=2\times7,$ $25=5\times5,$ $15=3\times5$ et $21=3\times7.$

Fraction complexe

Calculons :

$C=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{10}}=\frac35\div\frac9{10}=\frac35\times\frac{10}{9}=\frac23.$

La barre principale de fraction signifie une division : on commence donc par la remplacer par une multiplication par l'inverse.

Additionner n'est pas multiplier

On ne peut pas écrire $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{8}.$ Pour une somme, il faut un dénominateur commun : $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{10}{15}+\dfrac{3}{15}=\dfrac{13}{15}.$

Puissances et écriture scientifique

Les puissances raccourcissent les produits répétés. Les puissances de dix permettent aussi de lire, comparer et écrire des nombres très grands ou très petits.

Puissance d'un nombre

Pour un entier naturel $n,$ $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs égaux à $a.$ Par exemple $3^4=3\times3\times3\times3=81.$

Si $a\neq0,$ alors $a^0=1$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.$

Règles sur les puissances

Pour une même base non nulle :

$a^m\times a^n=a^{m+n}$ ;
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ;
$(a^m)^n=a^{mn}$.

De plus, $(ab)^n=a^nb^n.$

Puissances de dix

Multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite. Multiplier par $10^{-n}$ la décale de $n$ rangs vers la gauche.

$4,82\times10^3=4\,820$ ;
$73\times10^{-2}=0,73$.

Écriture scientifique

Un nombre positif est écrit en notation scientifique sous la forme $a\times10^n,$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier relatif. Ainsi :

$5\,640\,000=5,64\times10^6$ et $0,00072=7,2\times10^{-4}.$

Calculer avec la notation scientifique

On regroupe les nombres décimaux d'un côté et les puissances de dix de l'autre. Par exemple :

$(3\times10^5)\times(2\times10^{-3})=6\times10^2.$

Si le premier facteur obtenu n'est pas compris entre $1$ et $10,$ on ajuste l'écriture.

Ajuster le premier facteur

On obtient parfois $27\times10^4.$ Cette écriture est correcte mais n'est pas scientifique. Comme $27=2,7\times10,$ on écrit :

$27\times10^4=2,7\times10^5.$

QCM du chapitre

Question 1. Calculer $7-3\times(-2)^2$.
- A. $-5$
- B. $19$
- C. $-1$
- D. $16$
Réponse. A. $-5$

Explication. On calcule d'abord la puissance : $(-2)^2=4,$ puis $7-3\times4=-5$.
Question 2. Calculer $\dfrac34-\dfrac56$.
- A. $-\dfrac1{12}$
- B. $\dfrac1{12}$
- C. $-\dfrac2{3}$
- D. $\dfrac8{10}$
Réponse. A. $-\dfrac1{12}$

Explication. Avec le dénominateur 12 : $\frac9{12}-\frac{10}{12}=-\frac1{12}$.
Question 3. Quelle écriture est scientifique ?
- A. $56,4\times10^3$
- B. $0,72\times10^{-2}$
- C. $5,64\times10^6$
- D. $12\times10^5$
Réponse. C. $5,64\times10^6$

Explication. Le premier facteur doit être compris entre 1 et 10.
Question 4. Pour $a\neq0,$ le quotient $\dfrac{a^7}{a^3}$ vaut :
- A. $a^{10}$
- B. $a^4$
- C. $a^{21}$
- D. $a^{-4}$
Réponse. B. $a^4$

Explication. On soustrait les exposants : $a^{7-3}=a^4$.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une expression avec des fractions

Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

$A=\frac56-\frac23\times\frac38.$

Étape 1. Respecter la priorité.

On commence par la multiplication : $\dfrac23\times\dfrac38=\dfrac{6}{24}=\dfrac14.$
Étape 2. Mettre au même dénominateur.

On obtient $A=\dfrac56-\dfrac14=\dfrac{10}{12}-\dfrac3{12}.$
Étape 3. Conclure.

Donc $A=\dfrac7{12}.$ La fraction est irréductible.

Exercice 2. Écrire un nombre en notation scientifique

Écrire $0,0000345$ en notation scientifique, puis calculer $0,0000345\times2\times10^7.$

Étape 1. Déplacer la virgule.

On déplace la virgule de cinq rangs vers la droite : $0,0000345=3,45\times10^{-5}.$
Étape 2. Regrouper les facteurs.

Alors $0,0000345\times2\times10^7=(3,45\times2)\times10^{-5+7}.$
Étape 3. Conclure.

On obtient $6,9\times10^2,$ soit $690.$

À retenir

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : $a-b=a+(-b)$.
Un produit ou un quotient est positif si les deux facteurs ont le même signe.
On calcule d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions.
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ exige $b\neq0$.
Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
Pour additionner des fractions, on cherche un dénominateur commun.
Pour multiplier des fractions, on simplifie si possible avant d'effectuer les produits.
Pour $a\neq0,$ on a $a^0=1$ et $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
$a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
Une écriture scientifique a la forme $a\times10^n$ avec $1\le a<10$.