Troisième

Fonctions affines

Une fonction affine est une fonction dont la formule est de la forme $ax+b.$ Elle permet de modéliser une variation régulière : à chaque fois que $x$ augmente de la même quantité, l'image change aussi de manière régulière.

Version HTML statique du cours. Si JavaScript est actif, MathSups affiche l’expérience interactive avec QCM, exercices guidés et assistant IA.

Définition et cas particuliers

Une fonction affine est une fonction dont la formule est de la forme $ax+b.$ Elle permet de modéliser une variation régulière : à chaque fois que $x$ augmente de la même quantité, l'image change aussi de manière régulière.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire :

$f(x)=ax+b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Le nombre $a$ est le coefficient directeur et le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Fonction linéaire

Si $b=0,$ la fonction affine devient $f(x)=ax.$ On dit que c'est une fonction linéaire. Elle traduit une situation de proportionnalité.

Fonction constante

Si $a=0,$ la fonction affine devient $f(x)=b.$ Tous les nombres ont alors la même image. On dit que la fonction est constante.

Reconnaître les formes

  • $f(x)=7x-1$ est affine avec $a=7$ et $b=-1.$
  • $g(x)=-8x$ est affine et linéaire, avec $b=0.$
  • $h(x)=-15$ est affine et constante, avec $a=0.$

Toutes les formules ne sont pas affines

Les fonctions $x\mapsto x^2+3$ ou $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ ne sont pas affines, car elles ne sont pas de la forme $ax+b.$

Calculer images et antécédents

Comme pour toutes les fonctions, on peut calculer des images et chercher des antécédents. Avec une fonction affine non constante, chercher un antécédent revient à résoudre une équation du premier degré.

Calculer une image

Pour calculer une image, on remplace $x$ par la valeur donnée.

Si $f(x)=2x+5,$ alors :

$f(-3)=2\times(-3)+5=-1.$

Chercher un antécédent

Chercher un antécédent de $y$ par $f$ revient à résoudre $f(x)=y.$

Par exemple, avec $f(x)=-4x+9,$ cherchons un antécédent de $-11$ :

$-4x+9=-11,$ donc $-4x=-20,$ puis $x=5.$

Unicité pour une fonction affine non constante

Si $a\neq0,$ alors chaque nombre possède un unique antécédent par la fonction $f(x)=ax+b.$ Cela vient du fait que l'équation $ax+b=y$ a une seule solution.

Tableau de valeurs

Pour $f(x)=2x+1,$ on peut construire :

x-1012
f(x)-1135

Soigner les signes

Dans $f(x)=-4x+9,$ le coefficient de $x$ est négatif. Pour $x=5,$ on calcule bien $-4\times5+9=-11.$

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Le coefficient $a$ indique l'inclinaison de la droite, et $b$ indique où elle coupe l'axe des ordonnées.

Droite représentant une fonction affine
Dans f(x)=2x+1, le nombre 1 est l'ordonnée à l'origine et le nombre 2 donne la pente : quand x augmente de 1, y augmente de 2.

Droite d'équation y = ax + b

La représentation graphique de $f(x)=ax+b$ est une droite d'équation :

$y=ax+b.$

Le nombre $a$ est le coefficient directeur, et le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine.

Signe de a

  • Si $a>0,$ la fonction est croissante et la droite monte de gauche à droite.
  • Si $a<0,$ la fonction est décroissante et la droite descend de gauche à droite.
  • Si $a=0,$ la fonction est constante et la droite est horizontale.

Tracer une fonction affine

Pour tracer une fonction affine, on peut calculer deux images, placer les deux points correspondants, puis tracer la droite qui passe par ces points.

Pour $f(x)=2x+1,$ on a $f(0)=1$ et $f(2)=5.$ On place donc $(0;1)$ et $(2;5).$

Lire b graphiquement

L'ordonnée à l'origine $b$ se lit sur l'axe vertical : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe cet axe. En effet, quand $x=0,$ on a $f(0)=b.$

Fonction linéaire et origine

La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère. Une fonction affine qui ne passe pas par l'origine n'est pas linéaire.

QCM du chapitre

  1. Question 1. La fonction $f(x)=7x-1$ est :

    • A. constante
    • B. linéaire seulement
    • C. affine
    • D. non affine

    Réponse. C. affine

    Explication. Elle est de la forme $ax+b$ avec $a=7$ et $b=-1.$

  2. Question 2. Pour $f(x)=2x+5,$ l'image de $-3$ est :

    • A. $-1$
    • B. $1$
    • C. $11$
    • D. $-11$

    Réponse. A. $-1$

    Explication. $f(-3)=2\times(-3)+5=-6+5=-1.$

  3. Question 3. La droite d'une fonction affine $f(x)=ax+b$ coupe l'axe des ordonnées en :

    • A. $a$
    • B. $b$
    • C. $a+b$
    • D. $ab$

    Réponse. B. $b$

    Explication. Quand $x=0,$ on obtient $f(0)=b.$

  4. Question 4. Si $a<0$ dans $f(x)=ax+b,$ alors la fonction est :

    • A. croissante
    • B. décroissante
    • C. constante
    • D. toujours positive

    Réponse. B. décroissante

    Explication. Un coefficient directeur négatif donne une droite qui descend de gauche à droite.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une image et un antécédent

Soit $f(x)=-4x+9.$ Calculer $f(5),$ puis chercher un antécédent de $-11.$

  1. Étape 1. Calculer l'image.

    $f(5)=-4\times5+9=-20+9=-11.$

  2. Étape 2. Traduire l'antécédent.

    Chercher un antécédent de $-11$ revient à résoudre $-4x+9=-11.$

  3. Étape 3. Résoudre.

    $-4x=-20,$ donc $x=5.$ Un antécédent de $-11$ est $5.$

Exercice 2. Tracer une droite affine

Tracer la représentation graphique de $f(x)=2x+1$ en utilisant deux points.

  1. Étape 1. Calculer deux images.

    $f(0)=1$ et $f(2)=5.$

  2. Étape 2. Placer les points.

    On place les points $(0;1)$ et $(2;5)$ dans le repère.

  3. Étape 3. Tracer la droite.

    La représentation graphique de $f$ est la droite passant par ces deux points.

Exercice 3. Déterminer une formule affine

Une fonction affine vérifie $f(0)=3$ et son coefficient directeur vaut $4.$ Déterminer sa formule.

  1. Étape 1. Utiliser l'ordonnée à l'origine.

    Comme $f(0)=3,$ on a $b=3.$

  2. Étape 2. Utiliser le coefficient directeur.

    Le coefficient directeur vaut $a=4.$

  3. Étape 3. Conclure.

    La fonction est donc $f(x)=4x+3.$

À retenir