Troisième

Homothétie - Thalès

Une homothétie permet d'agrandir ou de réduire une figure en gardant sa forme. En Troisième, on commence avec un centre et un rapport positif : chaque point image reste aligné avec le centre et le point de départ. Image libre de droit : Nyo, Wikimedia Commons, domaine public. Une homothétie...

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Homothétie : agrandir ou réduire une figure

Une homothétie permet d'agrandir ou de réduire une figure en gardant sa forme. En Troisième, on commence avec un centre et un rapport positif : chaque point image reste aligné avec le centre et le point de départ.

Exemple d'homothétie : une figure et son image agrandie depuis un centre
Image libre de droit : Nyo, Wikimedia Commons, domaine public. Une homothétie agrandit ou réduit une figure sans changer sa forme.

Centre et rapport

Une homothétie est définie par un centre $O$ et un rapport positif $k.$ L'image d'un point $M$ est un point $M'$ placé sur la demi-droite $[OM).$

Les distances vérifient :

$OM'=k\times OM.$

Lire l'effet du rapport

Le rapport permet de reconnaître l'effet de l'homothétie :

  • si $k>1,$ la figure est agrandie ;
  • si $0
  • si $k=1,$ la figure ne change pas de taille.

Par exemple, un rapport $2$ double toutes les longueurs.

Construire l'image d'un point

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :

  1. on trace la demi-droite $[OM)$ ;
  2. on mesure la distance $OM$ ;
  3. on place $M'$ sur cette demi-droite pour que $OM'=k\times OM.$

Pour transformer un polygone, on recommence pour chacun de ses sommets puis on relie les points images dans le même ordre.

Ce que conserve une homothétie

Une figure et son image ont la même forme. Une homothétie conserve les alignements, les angles et le parallélisme.

Les longueurs et les périmètres sont multipliés par $k.$ Les aires sont multipliées par $k^2.$

Longueur, périmètre et aire

Un rectangle a une longueur de $5$ cm, un périmètre de $16$ cm et une aire de $15\ \text{cm}^2.$ Son image par une homothétie de rapport $3$ possède :

  • une longueur image égale à $3\times5=15$ cm ;
  • un périmètre égal à $3\times16=48$ cm ;
  • une aire égale à $3^2\times15=135\ \text{cm}^2.$

Ne pas confondre longueurs et aires

Si le rapport vaut $3,$ les longueurs sont multipliées par $3,$ mais les aires sont multipliées par $3^2,$ donc par $9.$

Théorème de Thalès : calculer une longueur

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans une figure comportant deux droites sécantes et deux droites parallèles. Avant tout calcul, il faut identifier les alignements et le parallélisme.

Configurations triangulaire et papillon du théorème de Thalès
Dans les deux dessins, les segments bleus sont parallèles. On repère d'abord les côtés qui se correspondent, puis on écrit les rapports dans le même ordre.

Configuration triangulaire

On suppose que les points $A,M,B$ sont alignés, que les points $A,N,C$ sont alignés et que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Alors :

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Les numérateurs correspondent au petit triangle $AMN$ et les dénominateurs au grand triangle $ABC.$

Configuration papillon

Le même théorème s'applique lorsque les deux triangles sont situés de part et d'autre du point $A.$ Si les points $M,A,B$ sont alignés, les points $N,A,C$ sont alignés et $(MN)\parallel(BC),$ alors :

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Rédiger une application de Thalès

Une rédaction complète suit quatre étapes :

  1. on cite les deux alignements ;
  2. on cite les droites parallèles ;
  3. on écrit les trois rapports dans un ordre cohérent ;
  4. on conserve les deux fractions utiles et on calcule la longueur cherchée.

Cette rédaction rend visible le raisonnement et évite les rapports assemblés au hasard.

Calcul dans un triangle

Dans le triangle $ABC,$ on a $M\in[AB],$ $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC).$ On connaît $AM=3$ cm, $AB=7,5$ cm et $BC=10$ cm. Calculons $MN.$

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}.$

Donc :

$\frac{3}{7,5}=\frac{MN}{10}$

$MN=\frac{3\times10}{7,5}=4\ \text{cm}.$

Choisir les rapports utiles

Il n'est pas nécessaire de recopier trois fractions à chaque ligne de calcul. Après avoir écrit l'égalité complète de Thalès, on garde les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues.

Pour trouver $MN$ dans l'exemple précédent, les rapports utiles sont $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{MN}{BC}.$

Faire correspondre les côtés

On ne mélange jamais petit et grand triangle. Dans l'écriture :

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC},$

chaque numérateur appartient au triangle $AMN$ et chaque dénominateur au triangle $ABC.$ Les côtés correspondants occupent la même position.

Réciproque de Thalès et choix du bon outil

Le théorème calcule une longueur lorsque le parallélisme est connu. Sa réciproque sert dans l'autre sens : elle démontre que deux droites sont parallèles lorsque des longueurs proportionnelles sont connues.

Réciproque du théorème de Thalès

On suppose que les points $A,M,B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A,N,C.$ Si :

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},$

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Démontrer que deux droites sont parallèles

Pour utiliser la réciproque :

  1. on cite les alignements et l'ordre des points ;
  2. on calcule séparément les deux rapports ;
  3. on constate qu'ils sont égaux ;
  4. on conclut avec la réciproque du théorème de Thalès.

Exemple de réciproque

Les points $A,M,B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A,N,C.$ On donne $AM=4$ cm, $AB=10$ cm, $AN=6$ cm et $AC=15$ cm.

$\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$

$\frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=0,4$

Les deux rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Théorème ou réciproque ?

On choisit l'outil en regardant la question :

  • pour calculer une longueur, on utilise le théorème de Thalès après avoir repéré des droites parallèles ;
  • pour démontrer un parallélisme, on utilise sa réciproque après avoir vérifié une égalité de rapports.

Partager un segment sans mesurer

Thalès permet aussi de partager un segment dans une proportion donnée. Pour construire un point $M$ tel que $AM=\dfrac35 AB,$ on trace une demi-droite issue de $A,$ on y reporte cinq longueurs égales, puis on trace des parallèles. La troisième parallèle détermine le point $M.$

Une égalité de rapports ne suffit pas toujours

Pour appliquer la réciproque, il faut aussi citer les alignements et vérifier l'ordre des points. Deux calculs égaux posés sans lien avec la figure ne démontrent pas un parallélisme.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Une homothétie de rapport $2$ transforme une longueur de $5$ cm en une longueur de :

    • A. $7$ cm
    • B. $3$ cm
    • C. $25$ cm
    • D. $10$ cm

    Réponse. D. $10$ cm

    Explication. Une longueur est multipliée par le rapport. Ici, $2\times5=10.$

  2. Question 2. Une figure d'aire $12\ \text{cm}^2$ subit une homothétie de rapport $3.$ L'aire de son image vaut :

    • A. $36\ \text{cm}^2$
    • B. $108\ \text{cm}^2$
    • C. $15\ \text{cm}^2$
    • D. $144\ \text{cm}^2$

    Réponse. B. $108\ \text{cm}^2$

    Explication. Les aires sont multipliées par $k^2.$ Ici, $3^2\times12=108.$

  3. Question 3. Dans le triangle $ABC,$ on a $M\in[AB],$ $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC).$ Quelle égalité est correcte ?

    • A. $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
    • B. $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$
    • C. $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{BC}{MN}$
    • D. $\dfrac{AM}{MN}=\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AC}{BC}$

    Réponse. A. $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

    Explication. Les longueurs du petit triangle sont placées au numérateur et les côtés correspondants du grand triangle au dénominateur.

  4. Question 4. Quel outil permet de démontrer que deux droites sont parallèles à partir de rapports égaux ?

    • A. Le théorème de Pythagore
    • B. Le théorème de Thalès
    • C. La réciproque du théorème de Thalès
    • D. Une homothétie de rapport 1

    Réponse. C. La réciproque du théorème de Thalès

    Explication. La réciproque de Thalès transforme une égalité de rapports en conclusion de parallélisme, lorsque les alignements et l'ordre des points conviennent.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer des mesures après une homothétie

Un polygone a un périmètre de $18$ cm et une aire de $24\ \text{cm}^2.$ Son image est obtenue par une homothétie de rapport $2.$ Calculer le périmètre et l'aire de l'image.

  1. Étape 1. Repérer le facteur appliqué aux longueurs.

    Les longueurs et le périmètre sont multipliés par $2.$

  2. Étape 2. Calculer le périmètre image.

    $P'=2\times18=36\ \text{cm}.$

  3. Étape 3. Calculer l'aire image.

    Les aires sont multipliées par $2^2,$ donc par $4.$ Ainsi :

    $\mathcal{A}'=4\times24=96\ \text{cm}^2.$

Exercice 2. Calculer une longueur avec Thalès

Dans le triangle $ABC,$ les points $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux segments $[AB]$ et $[AC].$ Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM=4,5$ cm, $AB=7,5$ cm et $AC=10$ cm. Calculer $AN.$

  1. Étape 1. Écrire les rapports de Thalès.

    D'après le théorème de Thalès :

    $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

  2. Étape 2. Conserver les deux rapports utiles.

    Pour trouver $AN,$ on utilise :

    $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$

    Donc :

    $\frac{4,5}{7,5}=\frac{AN}{10}.$

  3. Étape 3. Calculer et conclure.

    $AN=\frac{4,5\times10}{7,5}=6\ \text{cm}.$

Exercice 3. Démontrer un parallélisme

Les points $A,M,B$ sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points $A,N,C.$ On donne $AM=3,6$ cm, $AB=9$ cm, $AN=5,2$ cm et $AC=13$ cm. Démontrer que $(MN)\parallel(BC).$

  1. Étape 1. Calculer le premier rapport.

    $\frac{AM}{AB}=\frac{3,6}{9}=0,4.$

  2. Étape 2. Calculer le second rapport.

    $\frac{AN}{AC}=\frac{5,2}{13}=0,4.$

  3. Étape 3. Conclure avec la réciproque.

    Les points sont alignés dans le même ordre et les rapports sont égaux. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

À retenir