Troisième

Notion de fonction

Une fonction est une règle qui associe à un nombre de départ un unique nombre d'arrivée. Le vocabulaire image et antécédent sert à lire cette relation sans se tromper de sens.

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Fonction, image et antécédent

Une fonction est une règle qui associe à un nombre de départ un unique nombre d'arrivée. Le vocabulaire image et antécédent sert à lire cette relation sans se tromper de sens.

Fonction

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de départ un seul nombre noté $f(x).$ On lit : « $f$ de $x$ ».

Si $f(4)=17,$ cela signifie que le nombre $4$ a pour image $17$ par la fonction $f.$

Image

L'image d'un nombre est le résultat obtenu après application de la fonction. Pour calculer une image avec une formule, on remplace $x$ par le nombre donné.

Calculer une image

Soit $f(x)=3x+5.$ Alors :

$f(4)=3\times4+5=17.$

$f(-5)=3\times(-5)+5=-10.$

$f(9)=3\times9+5=32.$

Antécédent

Un antécédent d'un nombre $y$ est un nombre de départ dont l'image vaut $y.$ Autrement dit, on cherche les valeurs de $x$ qui vérifient $f(x)=y.$

Chercher un antécédent

Avec $f(x)=3x+5,$ cherchons un antécédent de $32.$

On résout $3x+5=32.$ Donc $3x=27,$ puis $x=9.$

Un antécédent de $32$ par $f$ est donc $9.$

Ne pas inverser les mots

Dans $f(4)=17,$ le nombre $17$ est l'image de $4.$ Le nombre $4$ est un antécédent de $17.$ Ce n'est pas la même direction.

Lire une fonction sur un graphique

La courbe d'une fonction permet de lire des images et des antécédents. On lit une image verticalement depuis l'axe des abscisses, et un antécédent horizontalement depuis l'axe des ordonnées.

Lecture graphique d'une image et d'antécédents
Pour lire une image, on part de l'abscisse. Pour lire un antécédent, on part de l'ordonnée et on repère toutes les abscisses possibles.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction $f$ est formée de points de coordonnées $(x;f(x)).$ L'abscisse est le nombre de départ, et l'ordonnée est son image.

Lire une image

Pour lire l'image d'un nombre $x,$ on part de ce nombre sur l'axe horizontal, on monte ou on descend jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point.

Lire un antécédent

Pour lire les antécédents d'un nombre $y,$ on part de ce nombre sur l'axe vertical, on trace mentalement une ligne horizontale, puis on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

Lecture sur le dessin

Sur le schéma, on peut lire $f(2)=3.$ On peut aussi lire que les antécédents de $1$ sont environ $-2$ et $4.$

Lecture exacte ou approchée

Sur un graphique, une lecture peut être approximative si le point n'est pas exactement sur une graduation. Dans ce cas, on utilise le symbole $\approx.$

Tableaux, programmes et formules

Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau de valeurs, un programme de calcul ou une courbe. Le vocabulaire reste le même : on cherche toujours des images et des antécédents.

Lire un tableau de valeurs

Dans un tableau, la première ligne contient les nombres de départ et la deuxième ligne leurs images. Par exemple :

x-4-215
g(x)414-2

On lit $g(-2)=1.$ Les antécédents de $4$ sont $-4$ et $1.$

Utiliser une formule

Une formule permet de calculer autant d'images que l'on veut. Si $h(x)=2x^2-3x+7,$ alors :

$h(-2)=2\times(-2)^2-3\times(-2)+7=21.$

Programme de calcul

Le programme « choisir un nombre, le multiplier par $3,$ puis ajouter $5$ » correspond à la fonction $f(x)=3x+5.$ Si on choisit $4,$ on obtient $17.$

Une seule image

Un nombre de départ ne peut pas avoir deux images différentes par la même fonction. En revanche, un même nombre d'arrivée peut avoir plusieurs antécédents.

Toutes les valeurs ne sont pas forcément dans le tableau

Un tableau de valeurs ne donne que quelques informations. Si une valeur de $x$ n'apparaît pas dans le tableau, on ne peut pas inventer son image sans formule ou sans graphique.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Si $f(x)=3x+5,$ alors $f(4)$ vaut :

    • A. $12$
    • B. $17$
    • C. $20$
    • D. $35$

    Réponse. B. $17$

    Explication. On remplace $x$ par $4$ : $f(4)=3\times4+5=17.$

  2. Question 2. Dans l'égalité $f(2)=7,$ le nombre $7$ est :

    • A. un antécédent de 2
    • B. l'image de 2
    • C. la fonction
    • D. l'abscisse de 7

    Réponse. B. l'image de 2

    Explication. Le résultat $7$ est l'image du nombre de départ $2.$

  3. Question 3. Si un point $A(2;7)$ appartient à la courbe de $f,$ alors :

    • A. $f(7)=2$
    • B. $f(2)=7$
    • C. $2+7=f$
    • D. $f=14$

    Réponse. B. $f(2)=7$

    Explication. Sur la courbe de $f,$ un point a pour coordonnées $(x;f(x)).$

  4. Question 4. Un antécédent de $14$ par la fonction $f(x)=2x-4$ est :

    • A. $5$
    • B. $7$
    • C. $9$
    • D. $18$

    Réponse. C. $9$

    Explication. On résout $2x-4=14,$ donc $2x=18$ et $x=9.$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer des images

Soit $h(x)=2x^2-3x+7.$ Calculer $h(-2)$ et $h(3).$

  1. Étape 1. Calculer l'image de -2.

    $h(-2)=2\times(-2)^2-3\times(-2)+7=8+6+7=21.$

  2. Étape 2. Calculer l'image de 3.

    $h(3)=2\times3^2-3\times3+7=18-9+7=16.$

  3. Étape 3. Conclure.

    On a donc $h(-2)=21$ et $h(3)=16.$

Exercice 2. Chercher un antécédent avec une formule

Soit $f(x)=3x+5.$ Chercher un antécédent de $2.$

  1. Étape 1. Traduire la phrase par une équation.

    Chercher un antécédent de $2$ revient à résoudre $f(x)=2.$ Donc :

    $3x+5=2.$

  2. Étape 2. Résoudre.

    $3x=-3,$ donc $x=-1.$

  3. Étape 3. Conclure.

    Un antécédent de $2$ par $f$ est $-1.$ En effet, $f(-1)=2.$

Exercice 3. Lire un tableau de valeurs

On donne le tableau suivant : $g(-4)=4,$ $g(-2)=1,$ $g(1)=4$ et $g(5)=-2.$ Donner l'image de $-2$ et les antécédents de $4.$

  1. Étape 1. Lire l'image demandée.

    La valeur associée à $-2$ est $1.$ Donc $g(-2)=1.$

  2. Étape 2. Chercher les antécédents.

    On cherche les valeurs de départ qui ont pour image $4.$ Dans le tableau, cela arrive pour $x=-4$ et $x=1.$

  3. Étape 3. Conclure.

    L'image de $-2$ est $1,$ et les antécédents de $4$ sont $-4$ et $1.$

À retenir