Troisième

Probabilités

Les probabilités permettent de mesurer les chances qu'un événement se réalise. Avant de calculer, il faut décrire clairement l'expérience, ses issues et les événements étudiés.

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Expérience aléatoire, issues et événements

Les probabilités permettent de mesurer les chances qu'un événement se réalise. Avant de calculer, il faut décrire clairement l'expérience, ses issues et les événements étudiés.

Expérience aléatoire

Une expérience est aléatoire lorsque son résultat dépend du hasard, qu'on peut la répéter dans les mêmes conditions, et qu'on connaît les résultats possibles.

Lancer une pièce, lancer un dé ou tirer une boule dans une urne sont des expériences aléatoires.

Issue

Une issue est un résultat possible de l'expérience. Pour un dé équilibré à six faces, les issues sont $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ et $6.$

Événement

Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non. Il peut contenir une ou plusieurs issues.

Avec un dé, l'événement « obtenir un nombre pair » contient les issues $2,$ $4$ et $6.$

Événement élémentaire, impossible, certain

Un événement élémentaire contient une seule issue. Un événement impossible ne peut jamais se produire. Un événement certain se produit toujours.

Lister les issues

Pour éviter les oublis, on commence souvent par écrire toutes les issues dans une liste, un tableau ou un arbre des possibles. C'est la base du calcul.

Ne pas compter deux fois la même issue

Dans un calcul de probabilité, chaque issue favorable doit être comptée une seule fois. Si une issue appartient à deux descriptions différentes, elle reste une seule issue.

Calculer une probabilité

Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1.$ Dans une situation d'équiprobabilité, on peut la calculer en comptant les issues favorables et les issues possibles.

Arbre des possibles, roue équilibrée et échelle de probabilité
On organise les issues pour les compter. Une probabilité vaut toujours entre 0 et 1, de l'événement impossible à l'événement certain.

Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement $A$ se note $P(A).$ Elle mesure la chance que l'événement $A$ se réalise.

On a toujours :

$0\le P(A)\le1.$

Somme des probabilités

La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut $1.$ Par exemple, pour une pièce équilibrée :

$P(\text{Pile})+P(\text{Face})=\frac12+\frac12=1.$

Équiprobabilité

On parle d'équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité. C'est le cas d'un dé équilibré ou d'une roue équilibrée divisée en secteurs de même aire.

Formule en équiprobabilité

Dans une situation d'équiprobabilité :

$P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.$

Dé équilibré

On lance un dé équilibré. L'événement $A$ est « obtenir un nombre pair ». Les issues favorables sont $2,$ $4$ et $6,$ donc il y en a $3$ sur $6.$

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac12.$

Probabilité et pourcentage

Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Par exemple, $\dfrac14=0,25=25\%.$

Événement contraire et arbres

Quand un événement est difficile à compter directement, son contraire peut être plus simple. Les arbres servent aussi à organiser des expériences avec plusieurs choix possibles.

Événement contraire

L'événement contraire de $A$ contient toutes les issues qui ne réalisent pas $A.$ On le note souvent « non $A$ ».

On a :

$P(\text{non }A)=1-P(A).$

Utiliser le contraire

Dans une urne, la probabilité de tirer une boule rouge est $0,35.$ La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est :

$1-0,35=0,65.$

Arbre des possibles

Un arbre des possibles représente les choix successifs par des branches. Chaque branche porte une issue ou une probabilité. À la fin, on lit toutes les issues possibles.

Deux lancers de pièce

Si on lance une pièce deux fois, les issues possibles sont :

$PP,$ $PF,$ $FP,$ $FF.$

Il y a $4$ issues équiprobables. La probabilité d'obtenir exactement une fois pile est donc $\dfrac{2}{4}=\dfrac12.$

Additionner seulement les bonnes branches

Dans un arbre, on additionne les probabilités des issues qui réalisent l'événement demandé. On ne mélange pas toutes les branches si elles ne correspondent pas à la question.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Lorsqu'on lance un dé équilibré, l'événement « obtenir un nombre pair » contient :

    • A. $1,3,5$
    • B. $2,4,6$
    • C. $1,2,3$
    • D. $6$ seulement

    Réponse. B. $2,4,6$

    Explication. Les nombres pairs entre $1$ et $6$ sont $2,$ $4$ et $6.$

  2. Question 2. Une probabilité est toujours comprise entre :

    • A. $-1$ et $1$
    • B. $0$ et $1$
    • C. $1$ et $10$
    • D. $0$ et $100$ seulement

    Réponse. B. $0$ et $1$

    Explication. Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1.$

  3. Question 3. On lance un dé équilibré. La probabilité d'obtenir un nombre supérieur à $4$ est :

    • A. $\dfrac{1}{6}$
    • B. $\dfrac{2}{6}$
    • C. $\dfrac{4}{6}$
    • D. $\dfrac{5}{6}$

    Réponse. B. $\dfrac{2}{6}$

    Explication. Les issues favorables sont $5$ et $6,$ donc $2$ issues sur $6.$

  4. Question 4. Si $P(A)=0,3,$ alors $P(\text{non }A)$ vaut :

    • A. $0,3$
    • B. $0,7$
    • C. $1,3$
    • D. $3$

    Réponse. B. $0,7$

    Explication. On calcule $1-0,3=0,7.$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une probabilité simple

On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. Il y a $8$ coeurs. Calculer la probabilité de tirer un coeur.

  1. Étape 1. Repérer les issues possibles.

    Il y a $32$ cartes possibles.

  2. Étape 2. Repérer les issues favorables.

    Les cartes favorables sont les $8$ coeurs.

  3. Étape 3. Calculer.

    $P(\text{coeur})=\dfrac{8}{32}=\dfrac14.$

Exercice 2. Utiliser l'événement contraire

Dans une boîte, la probabilité de tirer une bille bleue est $0,42.$ Calculer la probabilité de ne pas tirer de bille bleue.

  1. Étape 1. Identifier le contraire.

    L'événement contraire est « ne pas tirer de bille bleue ».

  2. Étape 2. Utiliser la formule.

    $P(\text{non bleu})=1-P(\text{bleu}).$

  3. Étape 3. Calculer.

    $1-0,42=0,58.$ La probabilité cherchée est $0,58.$

Exercice 3. Deux lancers de pièce

On lance une pièce équilibrée deux fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois pile.

  1. Étape 1. Lister les issues.

    Les issues possibles sont $PP,$ $PF,$ $FP,$ $FF.$

  2. Étape 2. Compter les issues favorables.

    Les issues avec exactement une fois pile sont $PF$ et $FP.$ Il y en a $2.$

  3. Étape 3. Calculer.

    Il y a $4$ issues équiprobables, donc la probabilité vaut $\dfrac{2}{4}=\dfrac12.$

À retenir