Troisième

Sections

Une sphère est une surface, tandis qu'une boule est un solide. Ce vocabulaire est important avant de calculer une aire ou un volume.

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Sphère, boule, aire et volume

Une sphère est une surface, tandis qu'une boule est un solide. Ce vocabulaire est important avant de calculer une aire ou un volume.

Sphère et boule

Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés à la distance $R$ du centre. Une boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $R$ du centre.

Rayon, diamètre, grand cercle

Un rayon relie le centre à un point de la sphère. Un diamètre passe par le centre et relie deux points opposés de la sphère. Sa longueur vaut $2R.$ Un grand cercle est un cercle de la sphère dont le centre est aussi le centre de la sphère.

Aire d'une sphère

L'aire d'une sphère de rayon $R$ est :

$A=4\pi R^2.$

Volume d'une boule

Le volume d'une boule de rayon $R$ est :

$V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Volume d'une boule de diamètre 10 cm

Si le diamètre vaut $10$ cm, alors le rayon vaut $5$ cm. Donc :

$V=\frac{4}{3}\pi\times5^3=\frac{500}{3}\pi\approx523,6\ \text{cm}^3.$

Rayon ou diamètre

Dans les formules, on utilise le rayon. Si l'énoncé donne un diamètre, il faut le diviser par $2$ avant de remplacer dans la formule.

Section d'un solide par un plan

La section d'un solide par un plan est la figure obtenue quand le plan coupe le solide. On peut imaginer une feuille très fine qui traverse le solide.

Section

L'intersection d'un plan et d'un solide est appelée section du solide par ce plan. Cette section est une figure plane.

Section d'une sphère

La section d'une sphère par un plan est un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, la section est un grand cercle.

Section d'un cylindre

La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle aux bases est un disque de même rayon que les bases. Si le plan est parallèle à l'axe du cylindre, la section peut être un rectangle.

Section d'une pyramide ou d'un cône

La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base. La section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque.

Toujours regarder la position du plan

Un même solide peut donner des sections différentes selon l'orientation du plan. Il faut donc lire attentivement : parallèle à la base, passant par le centre, parallèle à une arête, etc.

Agrandissement dans les sections parallèles

Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, la section garde la même forme que la base, mais en plus petit. On retrouve alors l'idée d'agrandissement-réduction.

Pyramide coupée parallèlement à la base

Dans une pyramide, si un plan est parallèle à la base, la section est un polygone de même nature que la base. Les longueurs de la section sont proportionnelles aux longueurs de la base.

Cône coupé parallèlement à la base

Dans un cône de révolution, une section parallèle à la base est un disque. Le rayon du disque dépend de la distance au sommet : plus on coupe près du sommet, plus le disque est petit.

Rapport de réduction

Si une section parallèle à la base d'une pyramide est obtenue avec un rapport $\dfrac{2}{5},$ alors les longueurs de la section sont multipliées par $\dfrac{2}{5}$ par rapport à celles de la base.

Une base de côté $15$ cm donne une section de côté $15\times\dfrac{2}{5}=6$ cm.

Calculer avec un rapport

Pour calculer une longueur dans une section parallèle, on identifie le rapport de réduction, puis on multiplie les longueurs correspondantes par ce rapport.

Longueurs et volumes

Un rapport appliqué aux longueurs ne s'applique pas de la même façon aux volumes. Pour un rapport $k,$ les volumes sont multipliés par $k^3.$ En Troisième, on l'utilise seulement lorsque l'énoncé le demande clairement.

QCM du chapitre

Question 1. Une boule de rayon $R$ est l'ensemble des points dont la distance au centre est :
- A. exactement $R$
- B. inférieure ou égale à $R$
- C. strictement supérieure à $R$
- D. égale à $2R$
Réponse. B. inférieure ou égale à $R$

Explication. La boule contient la surface et l'intérieur : on a une distance inférieure ou égale au rayon.
Question 2. Le volume d'une boule de rayon $R$ est :
- A. $4\pi R^2$
- B. $\dfrac{4}{3}\pi R^3$
- C. $\pi R^2h$
- D. $2\pi R$
Réponse. B. $\dfrac{4}{3}\pi R^3$

Explication. La formule du volume d'une boule est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^3.$
Question 3. La section d'une sphère par un plan est :
- A. un carré
- B. un rectangle
- C. un cercle
- D. toujours un triangle
Réponse. C. un cercle

Explication. La section d'une sphère par un plan est un cercle.
Question 4. La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est :
- A. un cercle
- B. un polygone de même nature que la base
- C. toujours un rectangle
- D. un segment
Réponse. B. un polygone de même nature que la base

Explication. Une section parallèle à la base d'une pyramide garde la même nature que la base.

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer le volume d'une boule

Une boule a pour diamètre $12$ cm. Calculer son volume exact puis une valeur approchée au dixième.

Étape 1. Trouver le rayon.

Le rayon vaut la moitié du diamètre : $R=\dfrac{12}{2}=6\ \text{cm}.$
Étape 2. Appliquer la formule.

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\times6^3=288\pi\ \text{cm}^3.$
Étape 3. Donner une valeur approchée.

$288\pi\approx904,8.$ Donc $V\approx904,8\ \text{cm}^3.$

Exercice 2. Reconnaître une section

On coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base. Quelle est la nature de la section ?

Étape 1. Identifier le solide.

Le solide est un cône de révolution.
Étape 2. Lire la position du plan.

Le plan est parallèle à la base du cône.
Étape 3. Conclure.

La section est un disque.

Exercice 3. Calculer une longueur dans une section

Une pyramide de base carrée a un côté de base de $20$ cm. Une section parallèle à la base est obtenue avec un rapport de réduction $\dfrac{3}{4}.$ Calculer le côté de la section.

Étape 1. Repérer le rapport.

Les longueurs de la section sont multipliées par $\dfrac{3}{4}.$
Étape 2. Calculer.

$20\times\dfrac{3}{4}=15.$
Étape 3. Conclure.

Le côté de la section mesure $15$ cm.

À retenir

Une sphère est une surface ; une boule est un solide.
Le diamètre d'une sphère vaut deux fois le rayon.
L'aire d'une sphère de rayon $R$ est $4\pi R^2$.
Le volume d'une boule de rayon $R$ est $\dfrac{4}{3}\pi R^3$.
Dans les formules, on utilise le rayon et non le diamètre.
Une section est l'intersection d'un solide avec un plan.
La section d'une sphère par un plan est un cercle.
Si le plan passe par le centre d'une sphère, la section est un grand cercle.
La section d'un cylindre par un plan parallèle aux bases est un disque.
La section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que la base.
Dans une section parallèle, les longueurs peuvent être calculées avec un rapport de réduction.