Troisième

Statistiques

Les statistiques servent à organiser des données pour mieux les comprendre. En Troisième, on commence toujours par repérer la population étudiée, le caractère observé, les valeurs et les effectifs.

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Vocabulaire et tableaux

Population, caractère, valeurs

La population est l'ensemble des individus étudiés. Le caractère est ce que l'on observe. Les valeurs sont les résultats possibles du caractère.

Par exemple, si on étudie le nombre d'appareils ménagers dans des familles, la population est l'ensemble des familles et le caractère est le nombre d'appareils ménagers.

Effectif et effectif total

L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît. L'effectif total est le nombre total de données de la série.

Fréquence

La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur dans la série :

$\text{fréquence}=\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}.$

On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Construire un tableau

Pour classer les données, on range les valeurs dans une ligne, puis on compte l'effectif de chaque valeur. Une dernière colonne peut contenir l'effectif total.

Calculer une fréquence

Dans une série de $52$ familles, $12$ familles possèdent $8$ appareils ménagers. La fréquence correspondante est :

$\frac{12}{52}\approx0,23.$

On peut dire qu'environ $23\%$ des familles possèdent $8$ appareils ménagers.

Ne pas confondre valeur et effectif

Si la valeur $8$ a pour effectif $12,$ cela signifie que $12$ données valent $8.$ Le nombre $8$ n'est pas l'effectif.

Moyenne, médiane et étendue

Une fois la série organisée, on peut la résumer avec des indicateurs. La moyenne et la médiane donnent une idée de position ; l'étendue donne une idée de dispersion.

Moyenne

La moyenne d'une série est égale à la somme des données divisée par l'effectif total :

$\text{moyenne}=\frac{\text{somme des données}}{\text{effectif total}}.$

Moyenne avec effectifs

Lorsque les données sont regroupées dans un tableau, on multiplie chaque valeur par son effectif, puis on divise par l'effectif total.

Pour les valeurs $4,6,8$ d'effectifs $2,5,3,$ on obtient :

$\frac{2\times4+5\times6+3\times8}{10}=6,2.$

Médiane

La médiane d'une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif : autant de données sont inférieures ou égales, autant sont supérieures ou égales.

Trouver la médiane

On commence par ranger la série dans l'ordre croissant. Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur centrale. Si l'effectif est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.

Étendue

L'étendue mesure l'écart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur :

$\text{étendue}=\text{maximum}-\text{minimum}.$

La moyenne peut être décimale

Une moyenne n'est pas forcément une valeur de la série. Par exemple, la moyenne $6,2$ peut résumer une série qui ne contient que les valeurs $4,$ $6$ et $8.$

Lire et comparer des séries

Les indicateurs ne racontent pas tous la même chose. Pour comparer deux séries, il faut regarder plusieurs informations : centre, dispersion et contexte.

Comparer avec la moyenne

La moyenne est utile quand on veut résumer toutes les valeurs par un seul nombre. Elle tient compte de chaque donnée, donc une valeur très grande ou très petite peut la faire changer fortement.

Comparer avec la médiane

La médiane est utile pour savoir où se situe le milieu de la série ordonnée. Elle est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Comparer avec l'étendue

Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des étendues différentes. La série qui a la plus grande étendue est plus dispersée.

Deux séries de notes

La série $8;10;10;12;12$ a une moyenne de $10,8$ et une médiane de $10.$ La série $2;10;11;16;25$ a aussi une valeur centrale proche, mais son étendue est beaucoup plus grande.

Un indicateur seul ne suffit pas toujours

Dire seulement « la moyenne vaut $12$ » ne permet pas de savoir si les valeurs sont toutes proches de $12$ ou très dispersées. Il faut parfois ajouter la médiane ou l'étendue.

QCM du chapitre

Question 1. Dans une série, l'effectif total est :
- A. la plus grande valeur
- B. le nombre total de données
- C. la moyenne
- D. la fréquence en pourcentage
Réponse. B. le nombre total de données

Explication. L'effectif total compte toutes les données de la série.
Question 2. Dans une classe de $25$ élèves, $5$ élèves viennent à vélo. La fréquence est :
- A. $5$
- B. $25$
- C. $\dfrac{5}{25}=0,2$
- D. $20$
Réponse. C. $\dfrac{5}{25}=0,2$

Explication. La fréquence vaut effectif divisé par effectif total : $\dfrac{5}{25}=0,2,$ soit $20\%.$
Question 3. La moyenne de $4,6,8$ avec les effectifs $2,5,3$ vaut :
- A. $6$
- B. $6,2$
- C. $7$
- D. $10$
Réponse. B. $6,2$

Explication. On calcule $\dfrac{2\times4+5\times6+3\times8}{10}=6,2.$
Question 4. La médiane de la série ordonnée $1;3;4;7;9$ est :
- A. $1$
- B. $4$
- C. $5$
- D. $9$
Réponse. B. $4$

Explication. Il y a cinq valeurs, donc la médiane est la valeur centrale : $4.$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer une moyenne pondérée

On obtient les notes suivantes : $12$ avec coefficient $5,$ $13$ avec coefficient $5,$ $7$ avec coefficient $2,$ $4$ avec coefficient $2,$ et $15$ avec coefficient $1.$ Calculer la moyenne.

Étape 1. Calculer la somme pondérée.

$5\times12+5\times13+2\times7+2\times4+1\times15=162.$
Étape 2. Calculer la somme des coefficients.

$5+5+2+2+1=15.$
Étape 3. Diviser.

La moyenne vaut $\dfrac{162}{15}=10,8.$

Exercice 2. Trouver une médiane

Déterminer la médiane de la série : $1;4;3;5;7;9;4;5;9.$

Étape 1. Ordonner la série.

On obtient $1;3;4;4;5;5;7;9;9.$
Étape 2. Repérer l'effectif.

Il y a $9$ valeurs, donc l'effectif est impair. La médiane est la $5^\text{e}$ valeur.
Étape 3. Conclure.

La $5^\text{e}$ valeur est $5.$ La médiane vaut donc $5.$

Exercice 3. Calculer fréquence et étendue

Dans une série de $40$ données, une valeur apparaît $6$ fois. La plus petite valeur est $12$ et la plus grande est $31.$ Calculer la fréquence de cette valeur et l'étendue.

Étape 1. Calculer la fréquence.

$\frac{6}{40}=0,15.$ La fréquence vaut donc $15\%.$
Étape 2. Calculer l'étendue.

$31-12=19.$
Étape 3. Conclure.

La fréquence vaut $0,15,$ soit $15\%,$ et l'étendue vaut $19.$

À retenir

La population est l'ensemble des individus étudiés.
Le caractère est ce que l'on observe sur la population.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
L'effectif total est le nombre total de données.
La fréquence vaut $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.
La moyenne vaut $\dfrac{\text{somme des données}}{\text{effectif total}}$.
Avec des effectifs, on multiplie chaque valeur par son effectif avant de diviser.
La médiane partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
L'étendue vaut maximum moins minimum.
Pour comparer deux séries, on regarde souvent plusieurs indicateurs.