Troisième

Triangles semblables

Deux triangles semblables ont la même forme, même s'ils n'ont pas forcément la même taille. On les reconnaît d'abord grâce à leurs angles. Les angles de même couleur sont homologues. Les côtés placés en face de ces angles se correspondent et leurs longueurs sont proportionnelles.

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Angles homologues et triangles semblables

Deux triangles semblables ont la même forme, même s'ils n'ont pas forcément la même taille. On les reconnaît d'abord grâce à leurs angles.

Deux triangles semblables avec côtés homologues
Les angles de même couleur sont homologues. Les côtés placés en face de ces angles se correspondent et leurs longueurs sont proportionnelles.

Triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Ils ont donc la même forme, mais l'un peut être un agrandissement ou une réduction de l'autre.

Éléments homologues

Dans deux triangles semblables, deux angles égaux sont appelés angles homologues. Les sommets correspondants et les côtés situés en face de ces angles sont aussi homologues.

Démontrer avec deux angles

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer qu'ils ont deux paires d'angles deux à deux de même mesure. La troisième paire d'angles sera alors automatiquement égale.

Exemple d'angles

Si dans deux triangles, on a $\widehat{A}=\widehat{D}$ et $\widehat{B}=\widehat{E},$ alors les troisièmes angles sont aussi égaux. Les deux triangles sont donc semblables.

Même forme ne veut pas dire même taille

Deux triangles égaux sont toujours semblables, mais deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux. Ils peuvent avoir des tailles différentes.

Côtés proportionnels

Quand deux triangles sont semblables, les côtés homologues ont des longueurs proportionnelles. Cette propriété permet de calculer des longueurs manquantes.

Proportionnalité des côtés

Si les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables, avec $A$ correspondant à $D,$ $B$ à $E$ et $C$ à $F,$ alors :

$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}.$

Le rapport commun est le coefficient d'agrandissement ou de réduction.

Lire le rapport

Sur le schéma, les côtés correspondants sont $AB$ et $DE,$ $AC$ et $DF,$ $BC$ et $EF.$ On a :

$\frac{DE}{AB}=\frac{6}{9}=\frac23.$

Le triangle $DEF$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport $\dfrac23.$

Calculer une longueur

On commence par associer les côtés homologues, puis on écrit deux rapports égaux. Si $\dfrac{x}{12}=\dfrac{2}{3},$ alors :

$x=12\times\frac23=8.$

Réciproque

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Mettre les côtés dans le même ordre

On ne peut pas écrire les rapports au hasard. Les côtés homologues doivent occuper la même position dans les fractions.

Lien avec Thalès et agrandissement

Les triangles semblables apparaissent souvent dans les configurations de Thalès, les homothéties et les situations d'agrandissement-réduction.

Configuration de Thalès

Dans une configuration de Thalès, si $(MN)\parallel(BC),$ alors les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables. Ils ont les mêmes angles et leurs côtés sont proportionnels.

Calcul dans une configuration

On suppose que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables, avec un rapport de réduction $\dfrac{3}{5}.$ Si $BC=20$ cm, alors :

$MN=20\times\frac35=12\ \text{cm}.$

Reconnaître la bonne situation

Si on connaît des angles égaux, on pense aux triangles semblables. Si on connaît des droites parallèles dans une figure avec deux triangles emboîtés ou en papillon, on pense aussi à Thalès.

Ne pas confondre avec Pythagore

Pythagore concerne un triangle rectangle et trois longueurs d'un même triangle. Les triangles semblables comparent deux triangles différents.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Deux triangles sont semblables lorsque :

    • A. leurs aires sont égales
    • B. leurs angles sont deux à deux de même mesure
    • C. leurs périmètres sont égaux
    • D. ils sont tous les deux rectangles seulement

    Réponse. B. leurs angles sont deux à deux de même mesure

    Explication. La définition repose sur l'égalité des angles deux à deux.

  2. Question 2. Deux triangles égaux sont :

    • A. toujours semblables
    • B. jamais semblables
    • C. semblables seulement si leur aire vaut 1
    • D. semblables seulement s'ils sont rectangles

    Réponse. A. toujours semblables

    Explication. Des triangles égaux ont les mêmes côtés et les mêmes angles, donc ils sont semblables.

  3. Question 3. Si $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{2}{3}$ et $AB=15$ cm, alors $DE$ vaut :

    • A. $10$ cm
    • B. $12$ cm
    • C. $18$ cm
    • D. $22,5$ cm

    Réponse. A. $10$ cm

    Explication. On calcule $DE=15\times\dfrac23=10$ cm.

  4. Question 4. Dans une configuration de Thalès avec $(MN)\parallel(BC),$ les triangles $AMN$ et $ABC$ sont :

    • A. opposés
    • B. semblables
    • C. toujours égaux
    • D. sans lien

    Réponse. B. semblables

    Explication. Les droites parallèles donnent des angles égaux, donc les triangles sont semblables.

Exercices guidés

Exercice 1. Démontrer que deux triangles sont semblables

Deux triangles $ABC$ et $DEF$ vérifient $\widehat{A}=\widehat{D}$ et $\widehat{B}=\widehat{E}.$ Démontrer qu'ils sont semblables.

  1. Étape 1. Repérer les angles connus.

    On connaît deux paires d'angles de même mesure.

  2. Étape 2. Utiliser la somme des angles.

    Dans un triangle, la somme des angles vaut $180^\circ.$ Si deux angles sont égaux deux à deux, alors les troisièmes le sont aussi.

  3. Étape 3. Conclure.

    Les trois angles sont deux à deux de même mesure. Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont donc semblables.

Exercice 2. Calculer une longueur

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables. Les côtés $AB$ et $DE$ sont homologues, ainsi que $BC$ et $EF.$ On donne $AB=12$ cm, $DE=8$ cm et $BC=18$ cm. Calculer $EF.$

  1. Étape 1. Calculer le rapport.

    $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{8}{12}=\dfrac23.$

  2. Étape 2. Appliquer au côté homologue.

    Comme $BC$ correspond à $EF,$ on a $EF=BC\times\dfrac23.$

  3. Étape 3. Calculer.

    $EF=18\times\dfrac23=12\ \text{cm}.$

Exercice 3. Utiliser la réciproque

Deux triangles ont pour longueurs $3,$ $4,$ $5$ et $6,$ $8,$ $10.$ Montrer qu'ils sont semblables.

  1. Étape 1. Comparer les côtés.

    $\dfrac{6}{3}=2,$ $\dfrac{8}{4}=2$ et $\dfrac{10}{5}=2.$

  2. Étape 2. Constater la proportionnalité.

    Les trois rapports sont égaux.

  3. Étape 3. Conclure.

    Les côtés sont proportionnels, donc les triangles sont semblables.

À retenir