Troisième

Trigonométrie

La trigonométrie relie les angles et les longueurs dans un triangle rectangle. Avant toute formule, il faut choisir un angle aigu et nommer les côtés par rapport à cet angle. Les mots adjacent et opposé dépendent de l'angle choisi. L'hypoténuse est toujours le côté en face de l'angle droit.

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Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle

La trigonométrie relie les angles et les longueurs dans un triangle rectangle. Avant toute formule, il faut choisir un angle aigu et nommer les côtés par rapport à cet angle.

Triangle rectangle avec hypoténuse, côté adjacent et côté opposé
Les mots adjacent et opposé dépendent de l'angle choisi. L'hypoténuse est toujours le côté en face de l'angle droit.

Hypoténuse, adjacent, opposé

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est le plus long côté. Pour un angle aigu choisi, le côté adjacent touche cet angle, tandis que le côté opposé est en face de cet angle.

Les trois rapports

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A,$ pour l'angle $\widehat{ABC},$ on a :

$\sin(\widehat{ABC})=\frac{AC}{BC},$

$\cos(\widehat{ABC})=\frac{AB}{BC},$

$\tan(\widehat{ABC})=\frac{AC}{AB}.$

SOH - CAH - TOA

Un moyen simple de retenir les formules :

  • $\sin=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ ;
  • $\cos=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ ;
  • $\tan=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.$

Ce que l'on peut calculer

Avec un angle aigu et une longueur, on peut souvent calculer une autre longueur. Avec deux longueurs, on peut souvent calculer un angle.

Changer d'angle change les côtés

Le côté opposé à $\widehat{ABC}$ n'est pas le même que le côté opposé à $\widehat{ACB}.$ Il faut donc toujours commencer par entourer l'angle utilisé.

Calculer une longueur

Pour calculer une longueur avec la trigonométrie, on choisit le rapport qui contient l'angle connu, la longueur connue et la longueur cherchée.

Choisir le bon rapport

On peut suivre trois étapes :

  1. vérifier que le triangle est rectangle ;
  2. repérer l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à l'angle connu ;
  3. choisir entre sinus, cosinus et tangente.

Utiliser la tangente

Dans un triangle rectangle, on connaît un angle de $36^\circ$ et le côté adjacent mesure $8$ cm. On cherche le côté opposé.

$\tan(36^\circ)=\frac{\text{opposé}}{8}.$

Donc :

$\text{opposé}=8\times\tan(36^\circ)\approx5,8\ \text{cm}.$

Utiliser le cosinus

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure $12$ cm et un angle aigu mesure $40^\circ.$ On cherche le côté adjacent.

$\cos(40^\circ)=\frac{\text{adjacent}}{12}.$

Donc :

$\text{adjacent}=12\times\cos(40^\circ)\approx9,2\ \text{cm}.$

Quand la longueur cherchée est au dénominateur

Si $\sin(63^\circ)=\dfrac{7}{LM},$ alors la longueur cherchée est au dénominateur. On écrit :

$LM=\frac{7}{\sin(63^\circ)}\approx7,9\ \text{cm}.$

Mode degré

La calculatrice doit être en mode degré pour les angles de Troisième. Si elle est en radians, les valeurs de sinus, cosinus et tangente seront fausses pour ce chapitre.

Calculer un angle et rédiger

Quand deux longueurs sont connues dans un triangle rectangle, on peut calculer un angle aigu. On choisit le rapport qui utilise ces deux longueurs, puis on utilise la touche inverse de la calculatrice.

Calculer un angle

Pour calculer un angle, on écrit d'abord un rapport. Par exemple, si :

$\tan(\widehat{B})=\frac{5}{8},$

alors la calculatrice donne :

$\widehat{B}\approx32^\circ.$

Avec le cosinus

Si le côté adjacent à un angle mesure $6$ cm et l'hypoténuse mesure $10$ cm, alors :

$\cos(\widehat{B})=\frac{6}{10}=0,6.$

Avec la calculatrice, on obtient $\widehat{B}\approx53^\circ.$

Rédaction conseillée

Une rédaction claire contient toujours :

  1. le triangle rectangle utilisé ;
  2. l'angle choisi ;
  3. le nom des côtés utilisés ;
  4. la formule, le calcul, puis l'arrondi.

Ne pas mélanger les outils

Pythagore sert à calculer une longueur quand deux longueurs sont connues dans un triangle rectangle. La trigonométrie sert à relier un angle aigu et des longueurs. On choisit donc l'outil selon les données de l'énoncé.

QCM du chapitre

  1. Question 1. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A,$ l'hypoténuse est :

    • A. $AB$
    • B. $AC$
    • C. $BC$
    • D. $AA$

    Réponse. C. $BC$

    Explication. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si le triangle est rectangle en $A,$ l'hypoténuse est $BC.$

  2. Question 2. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A,$ pour l'angle $\widehat{ABC},$ on a :

    • A. $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$
    • B. $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}$
    • C. $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{BC}{AC}$
    • D. $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{AC}$

    Réponse. B. $\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}$

    Explication. Le sinus vaut opposé sur hypoténuse. Le côté opposé à $\widehat{ABC}$ est $AC,$ et l'hypoténuse est $BC.$

  3. Question 3. Si $\tan(36^\circ)\approx0,73,$ alors $8\times\tan(36^\circ)$ vaut environ :

    • A. $4,2$
    • B. $5,8$
    • C. $8,7$
    • D. $10,9$

    Réponse. B. $5,8$

    Explication. On calcule $8\times0,73=5,84,$ soit environ $5,8.$

  4. Question 4. Si $\cos(\widehat{B})=\dfrac{6}{10},$ alors $\widehat{B}$ vaut environ :

    • A. $37^\circ$
    • B. $45^\circ$
    • C. $53^\circ$
    • D. $60^\circ$

    Réponse. C. $53^\circ$

    Explication. Avec la calculatrice en mode degré, un angle dont le cosinus vaut $0,6$ mesure environ $53^\circ.$

Exercices guidés

Exercice 1. Calculer un côté avec la tangente

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A,$ on connaît $\widehat{ABC}=35^\circ$ et $AB=7$ cm. Calculer $AC$ au dixième près.

  1. Étape 1. Repérer les côtés.

    Par rapport à l'angle $\widehat{ABC},$ le côté $AB$ est adjacent et le côté $AC$ est opposé.

  2. Étape 2. Choisir le rapport.

    On utilise la tangente :

    $\tan(35^\circ)=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{7}.$

  3. Étape 3. Calculer.

    $AC=7\times\tan(35^\circ)\approx4,9\ \text{cm}.$

Exercice 2. Calculer une hypoténuse avec le sinus

Dans un triangle $KLM$ rectangle en $K,$ on connaît $\widehat{KML}=63^\circ$ et $KL=7$ cm. Calculer $LM$ au dixième près.

  1. Étape 1. Repérer les côtés.

    Par rapport à l'angle $\widehat{KML},$ le côté $KL$ est opposé et $LM$ est l'hypoténuse.

  2. Étape 2. Choisir le rapport.

    On utilise le sinus :

    $\sin(63^\circ)=\frac{KL}{LM}=\frac{7}{LM}.$

  3. Étape 3. Calculer.

    $LM=\frac{7}{\sin(63^\circ)}\approx7,9\ \text{cm}.$

Exercice 3. Calculer un angle

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D,$ on connaît $DE=8$ cm et $DF=6$ cm. Calculer l'angle $\widehat{DEF}$ au degré près.

  1. Étape 1. Repérer les côtés.

    Par rapport à l'angle $\widehat{DEF},$ le côté $DE$ est adjacent et le côté $DF$ est opposé.

  2. Étape 2. Écrire le rapport.

    On utilise la tangente :

    $\tan(\widehat{DEF})=\frac{DF}{DE}=\frac{6}{8}=0,75.$

  3. Étape 3. Utiliser la calculatrice.

    La calculatrice donne $\widehat{DEF}\approx36,9^\circ.$ Au degré près, $\widehat{DEF}\approx37^\circ.$

À retenir