Troisième
Volume - espace
Calculer un volume commence par une lecture attentive du solide. Il faut identifier la base, la hauteur perpendiculaire à cette base et, pour les solides ronds, le rayon.
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Reconnaître les solides et leurs mesures
Calculer un volume commence par une lecture attentive du solide. Il faut identifier la base, la hauteur perpendiculaire à cette base et, pour les solides ronds, le rayon.
Solide, face, arête et sommet
Un solide occupe une portion de l'espace. Un polyèdre est délimité par des faces planes. Les côtés de ces faces sont ses arêtes et leurs extrémités sont ses sommets.
Un pavé droit et une pyramide sont des polyèdres. Un cylindre, un cône et une boule possèdent des surfaces courbes.
Prisme droit et cylindre
Un prisme droit possède deux bases polygonales identiques et parallèles. Ses autres faces sont des rectangles. Un cylindre possède deux disques identiques et parallèles. Dans les deux cas, la hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases.
Pyramide et cône
Une pyramide possède une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet. Un cône possède une base circulaire et un sommet. Leur hauteur est le segment perpendiculaire à la base passant par le sommet.
Repérer la vraie hauteur
La hauteur n'est pas toujours une arête visible. On cherche un segment perpendiculaire au plan de la base. Sur un dessin en perspective, il peut être représenté en pointillés.
Rayon ou diamètre ?
Dans les formules avec $\pi,$ on utilise le rayon. Si l'énoncé donne un diamètre $d,$ il faut d'abord calculer $r=\dfrac{d}{2}.$
Formules de volume
Les formules ne sont pas une liste isolée : elles s'organisent autour de l'aire de la base. Cette structure permet de les retrouver plus facilement.
Prisme droit et cylindre
Pour un prisme droit ou un cylindre :
$V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}.$
Pour un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h,$ la base est un disque d'aire $\pi r^2.$ Donc :
$V_{\text{cylindre}}=\pi r^2h.$
Pyramide et cône
Pour une pyramide ou un cône :
$V=\frac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}.$
Pour un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ :
$V_{\text{cône}}=\frac{\pi r^2h}{3}.$
Boule
Le volume d'une boule de rayon $r$ est :
$V_{\text{boule}}=\frac{4}{3}\pi r^3.$
Cette fois, on ne multiplie pas une aire de base par une hauteur : il faut connaître la formule.
Choisir la bonne formule
Avant de remplacer les nombres, on écrit toujours la formule littérale puis on identifie chaque mesure. Par exemple, pour un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $7$ cm :
$V=\pi r^2h=\pi\times4^2\times7=112\pi\ \text{cm}^3.$
Volume exact puis valeur approchée
Le volume précédent vaut exactement $112\pi\ \text{cm}^3.$ Avec une calculatrice, on obtient environ :
$112\pi\approx351,9.$
On peut donc écrire $V\approx351,9\ \text{cm}^3.$ Une valeur exacte conserve $\pi$ ; une valeur approchée utilise le symbole $\approx.$
Le carré porte sur le rayon
Pour un cylindre, $V=\pi r^2h.$ Si $r=3$ et $h=5,$ on calcule $\pi\times3^2\times5=45\pi,$ et non $\pi\times3\times2\times5.$
Unités, conversions et patrons
Une réponse de volume doit être accompagnée d'une unité cubique. Les conversions demandent une attention particulière : changer d'unité de longueur ne produit pas le même facteur que changer d'unité de volume.
Unités de volume
Les unités usuelles sont $\text{mm}^3,$ $\text{cm}^3,$ $\text{dm}^3$ et $\text{m}^3.$ Comme $1\ \text{dm}=10\ \text{cm},$ on a :
$1\ \text{dm}^3=10^3\ \text{cm}^3=1\,000\ \text{cm}^3.$
Lien avec les litres
On retient :
- $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$ ;
- $1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}$ ;
- $1\ \text{m}^3=1\,000\ \text{L}$.
Convertir un volume
Quand on passe à l'unité de volume immédiatement plus petite, on multiplie par $1\,000.$ Quand on passe à l'unité immédiatement plus grande, on divise par $1\,000.$
Exemple : $2,4\ \text{dm}^3=2\,400\ \text{cm}^3.$
Patron d'un solide
Un patron est une figure plane qui permet de construire un solide par pliage. Le patron d'un prisme droit montre ses deux bases identiques et ses faces latérales rectangulaires. Déplier mentalement un solide aide à distinguer ses faces et à repérer ses dimensions.
Un cône de diamètre donné
Un cône a un diamètre de $8$ cm et une hauteur de $9$ cm. Son rayon vaut $4$ cm. Donc :
$V=\frac{\pi\times4^2\times9}{3}=48\pi\ \text{cm}^3.$
Unité finale
Une aire s'exprime en unités carrées, par exemple $\text{cm}^2.$ Un volume s'exprime en unités cubiques, par exemple $\text{cm}^3.$ Écrire seulement « cm » à la fin d'un calcul de volume est incorrect.
QCM du chapitre
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Question 1. Le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $5$ cm vaut :
- A. $15\pi\ \text{cm}^3$
- B. $30\pi\ \text{cm}^3$
- C. $45\pi\ \text{cm}^3$
- D. $75\pi\ \text{cm}^3$
Réponse. C. $45\pi\ \text{cm}^3$
Explication. On utilise $V=\pi r^2h=\pi\times3^2\times5=45\pi$.
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Question 2. Un cône a pour diamètre $10$ cm. Quel rayon faut-il utiliser ?
- A. $20$ cm
- B. $10$ cm
- C. $5$ cm
- D. $2,5$ cm
Réponse. C. $5$ cm
Explication. Le rayon est la moitié du diamètre.
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Question 3. Convertir $3,2\ \text{dm}^3$ en $\text{cm}^3$.
- A. $32\ \text{cm}^3$
- B. $320\ \text{cm}^3$
- C. $3\,200\ \text{cm}^3$
- D. $32\,000\ \text{cm}^3$
Réponse. C. $3\,200\ \text{cm}^3$
Explication. On multiplie par $1\,000$ en passant de $\text{dm}^3$ à $\text{cm}^3$.
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Question 4. Quelle égalité est correcte ?
- A. $1\ \text{cm}^3=1\ \text{L}$
- B. $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$
- C. $1\ \text{m}^3=1\ \text{L}$
- D. $1\ \text{mm}^3=1\ \text{mL}$
Réponse. B. $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$
Explication. Un litre correspond exactement à un décimètre cube.
Exercices guidés
Exercice 1. Calculer le volume d'un cône
Un cône de révolution a un diamètre de $12$ cm et une hauteur de $10$ cm. Calculer son volume exact, puis une valeur approchée au dixième.
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Étape 1. Trouver le rayon.
Le rayon est la moitié du diamètre : $r=\dfrac{12}{2}=6\ \text{cm}.$
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Étape 2. Appliquer la formule.
$V=\dfrac{\pi r^2h}{3}=\dfrac{\pi\times6^2\times10}{3}=120\pi\ \text{cm}^3.$
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Étape 3. Donner une valeur approchée.
Avec la calculatrice, $120\pi\approx377,0.$ Donc $V\approx377,0\ \text{cm}^3.$
Exercice 2. Remplir un aquarium
Un aquarium en forme de pavé droit mesure $80$ cm de longueur, $35$ cm de largeur et $45$ cm de hauteur. Quel volume maximal d'eau peut-il contenir, en litres ?
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Étape 1. Calculer le volume en centimètres cubes.
$V=80\times35\times45=126\,000\ \text{cm}^3.$
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Étape 2. Relier centimètres cubes et millilitres.
Comme $1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL},$ l'aquarium contient au maximum $126\,000$ mL.
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Étape 3. Convertir en litres.
$126\,000\ \text{mL}=126\ \text{L}.$ L'aquarium peut contenir au maximum $126$ litres.
À retenir
- La hauteur d'un solide est perpendiculaire à sa base.
- Pour un prisme droit ou un cylindre : $V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$.
- Pour un cylindre : $V=\pi r^2h$.
- Pour une pyramide : $V=\dfrac{\text{aire de la base}\times h}{3}$.
- Pour un cône : $V=\dfrac{\pi r^2h}{3}$.
- Pour une boule : $V=\dfrac43\pi r^3$.
- Le rayon est la moitié du diamètre.
- Une valeur exacte conserve souvent $\pi$ ; une valeur approchée utilise $\approx$.
- $1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}$ et $1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}$.
- Quand l'unité de longueur est multipliée par 10, l'unité de volume est multipliée par $10^3=1\,000$.